Knotentheorie (als Teilgebiet der Topologie) ist zur Zeit sehr populär, vor allem wegen der vielen Anwendungen, nicht nur in der Mathematik, sondern auch in der Physik. Das Buch eignet sich als Grundlage für ein Seminar im Grundstudium Mathematik. Es richtet sich aber auch an Mathematiker und Naturwissenschaftler allgemein, die etwas über Knotentheorie lernen möchten, ohne auf Fachartikel und spezielle Monographien zurückgreifen zu müssen.
Ein Jahrhundert Knotentheorie - Was ist ein Knoten - Kombinatorische Techniken - Geometrische Techniken - Algebraische Techniken - Geometrie, Algebra und das Alexander Polynom - Numerische Invarianten - Symmetrien von Knoten - Höherdimensionale Knotentheorie - Neue kombinatorische Techniken - Anhang 1: Knotentabelle - Anhang 2: Alexander Polynome
Knotentheorie (als Teilgebiet der Topologie) ist zur Zeit sehr populär, vor allem wegen der vielen Anwendungen, nicht nur in der Mathematik, sondern auch in der Physik. Das Buch eignet sich als Grundlage für ein Seminar im Grundstudium Mathematik. Es richtet sich aber auch an Mathematiker und Naturwissenschaftler allgemein, die etwas über Knotentheorie lernen möchten, ohne auf Fachartikel und spezielle Monographien zurückgreifen zu müssen.
Inhaltsverzeichnis
1 Ein Jahrhundert Knotentheorie.- 2 Was ist ein Knoten?.- 2.1 Wilde Knoten und triviale Knoten.- 2.2 Die Definition eines Knotens.- 2.3 Äquivalenz von Knoten, Deformationen.- 2.4 Diagramme und Projektionen.- 2.5 Orientierungen.- 3 Kombinatorische Techniken.- 3.1 Reidemeister-Bewegungen.- 3.2 Färbungen.- 3.3 Eine Verallgemeinerung der Färbbarkeit: Etikettierungen modulo p.- 3.4 Matrizen, Etikettierungen und Determinanten.- 3.5 Das Alexander-Polynom.- 4 Geometrische Techniken.- 4.1 Flächen und Homöomorphismen.- 4.2 Die Klassifikation von Flächen.- 4.3 Seifert-Flächen und das Geschlecht eines Knotens.- 4.4 Chirurgie auf Flächen.- 4.5 Zusammenhängende Summen von Knoten und Primzerlegungen.- 5 Algebraische Techniken.- 5.1 Symmetrische Gruppen.- 5.2 Knoten und Gruppen.- 5.3 Die Konjugation und der Etikettierungssatz.- 5.4 Gleichungen in Gruppen und die Gruppe eines Knotens.- 5.5 Die Fundamentalgruppe.- 6 Geometrie, Algebra und das Alexander-Polynom.- 6.1 Die Seifert-Matrix.- 6.2 Seifert-Matrizen und das Alexander-Polynom.- 6.3 Die Signatur eines Knotens und andere S-Äquivalenzinvarianten.- 6.4 Knotengruppen und das Alexander-Polynom.- 7 Numerische Invarianten.- 7.1 Zusammenfassung numerischer Invarianten.- 7.2 Neue Invarianten.- 7.3 Zöpfe und Brücken.- 7.4 Beziehungen zwischen numerischen Invarianten.- 7.5 Unabhängigkeit numerischer Invarianten.- 8 Symmetrien von Knoten.- 8.1 Amphicheirale und umkehrbare Knoten.- 8.2 Periodische Knoten.- 8.3 Die Murasugi-Bedingungen.- 8.4 Periodische Seifert-Flächen und der Satz von Edmonds.- 8.5 Anwendungen der Murasugi- und der Edmonds-Bedingungen.- 9 Hochdimensionale Knotentheorie.- 9.1 Die Definition von Knoten in höheren Dimensionen.- 9.2 Drei Dimensionen aus einer 2-dimensionalen Perspektive...- 9.3 3-dimensionaleQuerschnitte eines 4-dimensionalen Knotens.- 9.4 Scheibenknoten.- 9.5 Die Knotenkonkordanzgruppe.- 10 Neue kombinatorische Invarianten.- 10.1 Das Conway-Polynom.- 10.2 Neue polynomiale Invarianten.- 10.3 Kauffmans Klammerpolynom.- Anhang 1: Knotentafel.- Anhang 2: Alexander-Polynome.- Literaturhinweise.- Sachwortverzeichnis.
