Welche Rolle spielen Minimalflächen für leichte Dachkonstruktionen oder Klothoiden im Straßenbau? Warum gibt es keine längentreuen Landkarten? Wie bestimmt man kürzeste Verbindungslinien zweier Flächenpunkte? Viele Disziplinen der Mathematik, der Physik und der Technik sind mit differentialgeometrischen Begriffsbildungen durchsetzt. Dieses Lehrbuch führt den Leser anschaulich und anwendungsorientiert in die klassische Kurven- und Flächentheorie ein. Zahlreiche Abbildungen, Beispiele und Aufgaben tragen zum Verständnis bei. Der Autor wendet sich an Studierende der Ingenieur- und Naturwissenschaften, aber auch der Mathematik, der Technomathematik und des Lehramtes.
Inhaltsverzeichnis
0 Vorbereitungen.- 0.1 Der Euklidische Raum IR3.- 0.2 Vektorfunktionen.- 1 Lokale Kurventheorie.- 1.1 Der Kurvenbegriff.- 1.2 Bogenlänge.- 1.3 Begleitendes Dreibein, Krümmung und Torsion.- 1.4 Frenetsche Gleichungen.- 1.5 Fundamentalsatz der Kurventheorie, Invarianten.- 1.6 Krümmung und Torsion bei beliebiger Parametrisierung.- 1.7 Anwendungen in der Mechanik.- 2 Ebene Kurven.- 2.1 Darstellungsformen.- 2.2 Singuläre Punkte.- 2.3 Fraktale Geometrie.- 2.4 Evolute und Evolvente.- 2.5 Einige bedeutende ebene Kurven.- 3 Globale Eigenschaften ebener Kurven.- 3.1 Die isoperimetrische Ungleichung.- 3.2 Der Umlaufsatz.- 3.3 Konvexe Kurven und Vierscheitelsatz.- 4 Lokale Flächentheorie.- 4.1 Der Flächenbegriff.- 4.2 Tangentialebene, Gaußsches begleitendes Dreibein.- 4.3 Die erste Fundamentalform.- 4.4 Die zweite Fundamentalform.- 4.5 Die Krümmungen einer Fläche.- 4.6 Ableitungsgleichungen, Theorema egregium, Fundamentalsatz.- 4.7 Geodätische Krümmung, geodätische Linien.- 5 Spezielle Flächen.- 5.1 Regelfächen.- 5.2 Drehflächen.- 5.3 Drehflächen konstanter Gaußscher Krümmung.- 5.4 Nichteuklidische Geometrie.- 5.5 Schraubflächen.- 5.6 Minimalflächen.- 5.7 Flächen konstanter mittlerer Krümmung.- 6 Abbildungen von Flächen.- 6.1 Isometrische Abbildungen.- 6.2 Konforme Abbildungen.- 6.3 Weitere Abbildungen von Flächen.- 6.4 Kartennetzentwürfe.- 7 Globale Eigenschaften von Flächen.- 7.1 Der Integralsatz von Gauß-Bonnet.- 7.2 Eiflächen.- 8 Ausblick: Weitere Anwendungen der Differentialgeometrie.- 9 Abriß zur Geschichte der Differentialgeometrie.- Lösungen der Aufgaben.- Literatur.- Bildquellennachweis.
