Numerische Mathematik für Anfänger

Dieses Buch will dem Studienanfänger einen Einstieg in die Numerische Mathematik bieten, eine Disziplin, die früher ausschließlich im Hauptstudium angeboten wurde, inzwischen aber an mehreren Universitäten sinnvollerweise bereits im ersten Semester auf dem Lehrplan steht. Gerhard Opfer hat dafür ein Buch zur Einführung verfaßt, das auf einem in vielen Semestern sorgfältig überprüften neuen Konzept beruht. Es trägt den Besonderheiten des Fachs mit vielen Beispielen und Aufgaben Rechnung. Der Student lernt, den Stoff selbständig zu erarbeiten und zu vertiefen. Er wird bald einen Blick für mögliche Reduzierungen des Aufwandes, den ein Algorithmus verursacht, für die notwendige Stabilität, die den immer auftretenden Rundungsfehlern Schranken setzt, und für vorhandene, aber noch nicht genutzte Parallelisierungen, die Rechenzeit sparen helfen, entwickeln.

1 Zahldarstellung und Rundungsfehler.- 1.1 Maschinenzahlen.- 1.2 Fehler beim Rechnen.- 1.3 Aufgaben.- 2 Auswertung elementarer Funktionen.- 2.1 Gewöhnliche Polynome.- 2.2 Trigonometrische Polynome.- 2.3 Rationale Funktionen.- 2.4 Aufgaben.- 3 Interpolation.- 3.1 Polynom-Interpolation.- 3.2 Spline-Interpolation.- 3.3 Trigonometrische Interpolation.- 3.4 Interpolation in linearen Räumen.- 3.5 Rationale Interpolation.- 3.6 Aufgaben.- 4 Numerische Integration.- 4.1 Interpolatorische Formeln.- 4.2 Zusammengesetzte Formeln.- 4.3 Konvergenzuntersuchungen.- 4.4 Extrapolation und Adaption.- 4.5 Gauß-Quadratur.- 4.6 Integration singulärer Funktionen.- 4.7 Aufgaben.- 5 Lineare Gleichungssysteme.- 5.1 Aufgabenstellung.- 5.2 Das Gaußsche Eliminationsverfahren.- 5.3 Iterative Lösungsverfahren.- 5.4 Methode der konjugierten Gradienten.- 5.5 Aufgaben.- 6 Lineare Optimierung.- 6.1 Aufgabenstellung.- 6.2 Basisvektoren.- 6.3 Das Simplexverfahren.- 6.4 Praktische Durchführung.- 6.5 Modifikationstechniken.- 6.6 Aufgaben.- 7 Ausgleichs- und Approximationsprobleme.- 7.1 Normen von Vektoren und linearen Abbildungen.- 7.2 Lineare Approximation.- 7.3 Überbestimmte Gleichungssysteme.- 7.4 Approximation von Funktionen.- 7.5 Aufgaben.- 8 Matrixeigenwerte und -eigenvektoren.- 8.1 Aufgabenstellung und elementare Eigenschaften.- 8.2 Das von-Mises-Verfahren (Potenzmethode).- 8.3 Die inverse von-Mises-Iteration.- 8.4 Der QR-Algorithmus.- 8.5 Der Lanczos-Algorithmus.- 8.6 Beispiele.- 8.7 Aufgaben.- 9 Nichtlineare Gleichungen und Systeme.- 9.1 Aufgabenstellung.- 9.2 Hilfsmittel aus der Analysis.- 9.3 Fixpunktiterationen.- 9.4 Newton-Iterationen.- 9.5 Eindimensionale Probleme.- 9.6 Anhang: Einzugsbereiche des Newton-Verfahrens.- 9.7 Aufgaben.- Anhang: Alphabete.- Stichwortverzeichnis.