Der wertvolle Begleiter durch das Studium
Wer Wirtschaftswissenschaften studiert, muss fit in Mathematik sein. Dieses Buch hilft dabei. Es geht auf lineare, quadratische, rationale und spezielle Funktionen wie Exponential-, Logarithmus- oder trigonometrische Funktionen ein und erklärt Folgen sowie Reihen. Auch die Differential- und Integralrechnung stellt es vor, ebenso lineare Gleichungen und Optimierungen. Vektoren und Matrizen berücksichtigt es zudem. Zusammenfassungen, Aufgaben und Musterklausuren bereiten ideal auf die Prüfung vor.
Neu: Das Buch schließt gleich zu Beginn Wissenslücken durch schulmathematische Grundlagen.
Das Buch richtet sich an Studierende der Betriebs- und Volkswirtschaftslehre sowie Wirtschaftsinformatik.
utb+: Zusätzlich zum Buch erhalten Leser:innen über 300 Lösungen zu den Aufgaben im Buch als digitales Bonusmaterial, um das Gelernte zu vertiefen und zur Prüfungsvorbereitung.
Inhaltsverzeichnis
Vorwort 11
1 Einordnung und Grundlagen 15
Übersicht 15
1. 1 Einordnung 15
1. 2 Mengen 18
1. 2. 1 Operationen mit Mengen 21
1. 2. 2 Aussagen und Aussageformen 22
1. 3 Terme und Gleichungen 26
1. 3. 1 Terme und Termumformungen 26
1. 3. 2 Gleichungen und Ungleichungen 27
2 Das Funktionskonzept 33
Übersicht 33
2. 1 Funktionen und Abbildungen 34
2. 2 Graphische Darstellung, Bild und Urbild 37
2. 3 Wachstums- und Krümmungseigenschaften von Funktionen 42
2. 3. 1 Lage des Funktionsgraphen im Koordinatensystem 42
2. 3. 2 Monotonieeigenschaften von Funktionen 43
2. 3. 3 Krümmung von Funktionen 43
2. 4 Verkettung und Umkehrung von Funktionen 46
2. 5 Exkurs: Relationen 49
Zusammenfassung 50
3 Lineare Funktionen 51
Übersicht 51
3. 1 Normalform linearer Funktionen 52
3. 1. 1 Interpretation des Faktors a der Normalform 52
3. 1. 2 Interpretation des Summanden b der Normalform 52
3. 1. 3 Nullstellen linearer Funktionen 52
3. 1. 4 Bestimmung der Normalform einer linearen Funktion aus zwei Punkten 53
3. 2 Punkt-Steigungsform linearer Funktionen 54
3. 3 Koordinatenform linearer Funktionen 54
3. 4 Umkehrfunktion und Normale einer linearen Funktion 55
3. 4. 1 Die Umkehrfunktion einer linearen Funktion 55
3. 4. 2 Die Normale einer linearen Funktion 56
3. 5 Schnittpunkte linearer Funktionen 57
3. 6 Ökonomische Anwendungen linearer Funktionen 58
Zusammenfassung 60
4 Quadratische Funktionen 61
Übersicht 61
4. 1 Normalform quadratischer Funktionen 61
4. 2 Scheitelpunktform quadratischer Funktionen 63
4. 3 Nullstellen und Schnittpunkte quadratischer Funktionen 65
4. 4 Linearform quadratischer Funktionen 67
4. 5 Umkehrung quadratischer Funktionen 68
4. 6 Ökonomische Anwendungen quadratischer Funktionen 69
4. 6. 1 Quadratische Gewinnfunktionen bei linearer Nachfragefunktion 69
4. 6. 2 Modellierung von Nachfragesituationen durch quadratische Funktionen 71
4. 6. 3 Kleinste-Quadrate-Methode 73
Zusammenfassung 74
5 Rationale Funktionen 75
Übersicht 75
5. 1 Potenzen und Monome 76
5. 2 Polynome und ganz-rationale Funktionen 80
5. 3 Teilbarkeit von Polynomen und Polynomdivision 83
5. 4 Nullstellen von Polynomen 89
5. 5 Interpolation durch Polynome 92
5. 6 Gebrochen-rationale Funktionen 95
Zusammenfassung 100
6 Spezielle Funktionen 101
Übersicht 101
6. 1 Exponentialfunktionen 101
6. 1. 1 Die Schreibweise f(x) = ax für die Exponentialfunktion 103
6. 1. 2 Das Monotonieverhalten der Exponentialfunktion 103
6. 1. 3 Die Eulersche Exponentialfunktion 104
6. 2 Logarithmusfunktionen 105
6. 3 Potenzfunktionen 108
6. 4 Trigonometrische Funktionen 110
6. 4. 1 Geometrische Festlegung der trigonometrischen Funktionen 110
6. 4. 2 Rechenregeln für trigonometrische Funktionen 115
6. 4. 3 Anwendungen trigonometrischer Funktionen 116
6. 5 Stückweise definierte Funktionen 118
6. 5. 1 Die Betragsfunktion 119
6. 5. 2 Exkurs: Die Indikatorfunktion 121
Zusammenfassung 122
7 Folgen und Reihen 125
Übersicht 125
7. 1 Folgen in der Ökonomie 125
7. 2 Explizite und implizite Folgen 127
7. 3 Konvergenz von Folgen 132
7. 3. 1 Grenzwertbestimmung bei expliziten Folgen 134
7. 3. 2 Grenzwertbestimmung bei impliziten Folgen 139
7. 3. 3 Nachweismöglichkeiten für Konvergenz 139
7. 4 Summenfolgen und unendliche Reihen 143
7. 4. 1 Summenfolgen 143
7. 4. 2 Unendliche Reihen 144
7. 4. 3 Potenzreihen 148
7. 4. 4 Exkurs: Erzeugende Funktionen 150
7. 5 Exkurs: Gleichgewichte bei Marktpreisen 152
7. 6 Finanzmathematische Folgen und Reihen 155
7. 6. 1 Zinseszinsrechnung 155
7. 6. 2 Rentenrechnung 156
7. 6. 3 Annuitätenrechnung 157
7. 6. 4 Barwert und Endwert 158
7. 6. 5 Kapitalwert 160
Zusammenfassung 161
8 Differentialrechnung in einer Variablen 163
8. 1 Funktionsgrenzwerte 163
8. 1. 1 Von Folgengrenzwerten zu Funktionsgrenzwerten 163
8. 1. 2 Einseitige Funktionsgrenzwerte 165
8. 1. 3 Methoden zur Bestimmung von Funktionsgrenzwerten 166
8. 1. 4 Divergente und uneigentliche Grenzwerte 169
8. 1. 5 Grenzwertverhalten gebrochen-rationaler Funktionen 170
8. 1. 6 Asymptoten von Funktionen 171
8. 2 Stetige Funktionen 173
8. 3 Differenzierbare Funktionen 177
8. 3. 1 Tangenten an Funktionsgraphen 178
8. 3. 2 Ableitung als Grenzwert von Sekantensteigungen 178
8. 3. 3 Die Ableitungsfunktion 181
8. 3. 4 Ableitung und Linearisierung 183
8. 3. 5 Mittelwertsatz 184
8. 3. 6 Ableitungen höherer Ordnung 184
8. 4 Ableitungsregeln 185
8. 4. 1 Faktorregel 186
8. 4. 2 Summenregel 187
8. 4. 3 Produktregel 187
8. 4. 4 Quotientenregel 187
8. 4. 5 Kettenregel 188
8. 4. 6 Ableitung von Potenzreihen 189
8. 5 Ableitung und Funktionseigenschaften 191
8. 5. 1 Ableitung erster Ordnung und Nullstellen 192
8. 5. 2 Ableitung erster Ordnung und Monotonieverhalten 193
8. 5. 3 Ableitung erster Ordnung und Regel von de l Hospital 195
8. 5. 4 Ableitungen erster Ordnung und Bedingungen für Extrema 196
8. 5. 5 Ableitungen erster und zweiter Ordnung und lokale Extrema 198
8. 5. 6 Ableitung zweiter Ordnung und Krümmungsverhalten 201
8. 5. 7 Kurvendiskussionen und Funktionssteckbriefe 203
8. 6 Ökonomische Anwendungen der Differentialrechnung 208
8. 6. 1 Optimaler Preis 208
8. 6. 2 Gewinnmaximierung 210
8. 6. 3 Elastizitäten 211
8. 6. 4 Marginalanalyse 214
8. 6. 5 Kostenminimierung 215
Zusammenfassung 218
9 Integralrechnung 219
9. 1 Flächenintegrale und Stammfunktionen 219
9. 1. 1 Stammfunktion 220
9. 1. 2 Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung 221
9. 1. 3 Flächenintegrale bei Funktionen mit Vorzeichenwechsel 223
9. 2 Numerische Berechnung von Flächenintegralen 225
9. 2. 1 Numerische Integration mit der Trapezregel 227
9. 2. 2 Numerische Integration mit der Simpson-Regel 227
9. 2. 3 Exkurs: Das Lebesgue-Integral 228
9. 3 Integrationsregeln 230
9. 3. 1 Faktorregel und Summenregel 230
9. 3. 2 Partielle Integration 232
9. 3. 3 Substitutionsregel 234
9. 4 Uneigentliche Integrale 236
9. 5 Exkurs: Konsumentenrente und Produzentenrente 240
Zusammenfassung 243
10 Lineare Gleichungssysteme 247
Übersicht 247
10. 1 Lineare Eingabe-Ausgabe-Beziehungen 247
10. 2 Das Gauß sche Eliminationsverfahren 251
10. 2. 1 Zeilenumformungen eines LGS 252
10. 2. 2 Die Staffelform eines LGS 253
10. 2. 3 Die Zeilenstufenform eines LGS 256
Zusammenfassung 258
11 Lineare Optimierung 259
Übersicht 259
11. 1 Probleme der linearen Optimierung 259
11. 1. 1 Optimaler Verbrauch von Rohstoffen 260
11. 1. 2 Transportprobleme 260
11. 1. 3 Zuordnungsprobleme 260
11. 2 Standardform eines LOP 261
11. 3 Simplex-Algorithmus 263
11. 3. 1 Beispiel mit einer freien Variable 263
11. 3. 2 Simplex-Tableau 264
11. 3. 3 Basiswechsel mit einer freien Variablen 267
11. 3. 4 Basiswechsel mit mehreren freien Variablen 269
11. 3. 5 Schematische Darstellung des Simplex-Verfahrens 272
11. 3. 6 Diskussion des Verfahrens 273
11. 4 Zweiphasenmethode 275
Zusammenfassung 279
12 Vektoren 281
Übersicht 281
12. 1 Vektoren und Operationen mit Vektoren 281
12. 1. 1 Elementare Operationen mit Vektoren 283
12. 1. 2 Vektorräume 285
12. 2 Koordinatensysteme und Linearkombinationen 287
12. 3 Untervektorraum und Basis 297
12. 3. 1 Gewinnung einer Basis aus einem Erzeugendensystem 299
12. 3. 2 Gewinnung einer Basis zur Lösungsmenge eines homogenen linearen Gleichungssystems 300
12. 4 Vektorgeometrie 303
12. 5 Abstandsmessung, Projektionen und KQ-Methode 309
Zusammenfassung 318
13 Matrizen 319
Übersicht 319
13. 1 Matrix-Vektor-Verflechtungen 319
13. 2 Matrix-Matrix-Verflechtungen 323
13. 3 Quadratische Matrizen 328
13. 4 Determinanten 333
13. 4. 1 Berechnung der Determinante mittels Zeilenumformungen 335
13. 4. 2 Laplace-Entwicklungsformel für Determinanten 337
13. 4. 3 Strategien zur Berechnung von Determinanten 338
13. 4. 4 Anwendungen der Determinante 340
13. 5 Eigenwerte und Eigenvektoren 341
13. 5. 1 Bestimmung von Eigenwerten und Eigenvektoren 343
13. 5. 2 Eigenschaften von Eigenwerten und Eigenvektoren 344
13. 5. 3 Eigenwerte bei symmetrischen Matrizen 345
13. 6 Definitheit von Matrizen 348
13. 6. 1 Definitheit 349
13. 6. 2 Definitheit unter Nebenbedingungen 352
13. 7 Exkurs: Anwendungen der Matrizenrechnung 354
13. 7. 1 Input-Output-Analysen und Leontief-Modelle 354
13. 7. 2 Übergangsmatrizen und Markoff-Ketten 356
Zusammenfassung 360
14 Differentialrechnung in mehreren Variablen 363
Übersicht 363
14. 1 Funktionen mehrerer Variablen 364
14. 1. 1 Definitionsbereiche für Funktionen mehrerer Variablen 364
14. 1. 2 Lineare und quadratische Funktionen mehrerer Variablen 366
14. 1. 3 Grenzwerte von Funktionen mehrerer Variablen 367
14. 1. 4 Grafische Darstellung 368
14. 2 Funktionen mehrerer Variablen in der Ökonomie 370
14. 2. 1 Lineare Funktionen mehrerer Variablen in der Ökonomie 370
14. 2. 2 Nachfragefunktionen in mehreren Variablen 371
14. 2. 3 Produktionsfunktionen in mehreren Variablen 373
14. 2. 4 Homogene Funktionen in der Ökonomie 375
14. 3 Ableitungskonzepte für Funktionen mehrerer Variablen 377
14. 3. 1 Die partielle Ableitung 378
14. 3. 2 Das Differential 383
14. 3. 3 Ableitungsregeln für Funktionen mehrerer Variablen 387
14. 4 Ableitungskonzepte auf Grundlage des Differentials 390
14. 4. 1 Richtungsableitung 390
14. 4. 2 Elastizitäten 395
14. 4. 3 Implizite Ableitungen und ihre Anwendungen 396
14. 5 Ableitungen zweiter Ordnung 404
14. 5. 1 Die Hesse-Matrix 405
14. 5. 2 Krümmung impliziter Funktionen 407
14. 5. 3 Konvexe Funktionen 409
14. 6 Integrale für Funktionen mehrerer Variablen 412
14. 6. 1 Volumenintegrale 412
14. 6. 2 Integrationsregeln 414
Zusammenfassung 418
15 Optimierungsaufgaben 419
Übersicht 419
15. 1 Optimierungsaufgaben ohne Nebenbedingungen 419
15. 1. 1 Bestimmung kritischer Punkte 420
15. 1. 2 Hinreichende Bedingungen für lokale Extrema 422
15. 1. 3 Optimierung konvexer Funktionen 425
15. 1. 4 Numerische Optimierung mit dem Gradientenabstiegsverfahren 428
15. 1. 5 Numerische Optimierung mit dem Newton-Verfahren 429
15. 2 Optimierung unter Nebenbedingungen 431
15. 2. 1 Optimierung bei einer Nebenbedingung in Gleichungsform 433
15. 2. 2 Optimierung unter Ungleichungsrestriktionen 442
15. 3 Hinreichende Bedingungen für Extrema 449
15. 3. 1 Hinreichende Bedingungen für lokale Extrema unter Nebenbedingungen 450
15. 3. 2 Nachweis der Optimalität durch Randwertvergleich 454
15. 3. 3 Optimierung konvexer Funktionen unter Nebenbedingungen 461
15. 4 Komparative Statik 465
15. 4. 1 Ein Verbrauchsproblem 465
15. 4. 2 Das Envelope-Theorem 467
15. 4. 3 Ein Kostenproblem 470
15. 4. 4 Das Theorem impliziter Funktionen 472
Zusammenfassung 474
Übungsklausuren 475
Klausur 1 475
Klausur 2 477
Klausur 3 479
Klausur 4 481
Klausur 5 483
Abbildungen 485
Tabellen 489
Symbole und Abkürzungen 491
Das griechische Alphabet 493
Literatur 495
Index 497
