Lineare Algebra

dienen auch dazu, in Kapitel IV zu einer koordinatenfreien Definition der Orientierung in einem linearen Raume zu kommen. Den Ausgangs punkt der Tensoralgebra (Kapitel V) bildet wieder der Begriff des Paares dualer Raume. Hierdurch wird es moglich, aIle Operationen mit TensoreI)., insbesondere die Verjiingung, ohne Bezugnahme auf die Komponenten einzufUhren. Mit Kapitel VI beginnt die Theorie der metrischen linearen Raume, wobei zunachst ein positiv-definites Skalarprodukt fUr die Langen messung zugrunde gelegt wird. Hieran schliel3t sich in Kapitel VII die Besprechung der langentreuen und selbstadjungierten Abbildungen und deren Eigenwerttheorie. In Kapitel VIII werden zunachst die symmetrischen bilinearen Funktionen aIlgemein untersucht und schlie- lich diejenigen Eigenschaften des Euklidischen Raumes hervorgehoben, die sich auf Raume mit indefiniter Metrik iibertragen lassen. Kapitel IX bringt dann die Klassifikation der Flachen zweiter Ordnung in affiner und metrischer Hinsicht. Die Dbertragung der metrischen Begriffe auf komplexe line are Raume findet sich in Kapitel X. Das letzte - elfte - Kapitel fiihrt wieder zu den linearen Raumen ohne Skalarprodukt zuriick. Es gehOrt also logisch eigentlich zwischen Kapitel V und VI, wiirde an dieser Stelle jedoch in gewisser Hinsicht die Einheitlichkeit storen, da die hier behandelte Theorie der Zerlegung in irreduzible invariante Unterraume beziiglich einer linearen Selbst abbildung nicht unbedingt zu einer allgemeinen Kenntnis der linearen Algebra gehort. Entsprechend der Grundidee des ganzen Buches werden die irreduziblen Unterraume nicht aus der Matrix mittels ihrer Elementarteiler konstruiert, sondern vielmehr aus der Abbildung selbst. Die Normalformen der Matrix ergeben sich dann unmittelbar aus dem Zerlegungssatz.

Erstes Kapitel Lineare Räume.- § 1. Die Axiome des linearen Raumes.- § 2. Lineare Räume endlicher Dimension.- § 3. Lineare Unterräume.- § 4. Lineare Funktionen.- Zweites Kapitel Lineare Abbildungen und Gleichungssysteme.- § 1. Lineare Abbildungen.- § 2. Lineare Gleichungssysteme und Matrizen.- § 3. Lösen eines linearen Gleichungssystem durch Elimination.- § 4. Summe und Produkt linearer Abbildungen.- § 5. Paare dualer Räume.- Drittes Kapitel Determinanten.- § 1. Determinantenfunktionen.- § 2. Determinante einer linearen Selbstabbildung.- § 3. Determinante einer Matrix.- § 4. Unterdeterminanten.- § 5. Anwendung auf lineare Gleichungssysteme.- § 6. Das charakteristische Polynom.- Viertes Kapitel Orientierte lineare Räume.- § 1. Orientierung mittels einer Determinantenfunktion.- § 2. Topologie in linearen Räumen.- Fünftes Kapitel Multilineare Algebra.- § 1. Multilineare Abbildungen.- § 2. Das äußere Produkt.- § 3. Tensoren.- § 4. Verjüngung.- § 5. Schiefsymmetrische Tensoren.- § 6. Das schiefsymmetrische Produkt.- § 7. Das duale Produkt.- § 8. Geometrische Deutung der schiefsymmetrischen Produkte.- Sechstes Kapitel Der Euklidische Raum.- § 1. Das skalare Produkt.- § 2. Weitere Eigenschaften des Euklidischen Raumes.- § 3. Skalarprodukt und dualer Raum.- Siebentes Kapitel Lineare Abbildungen Euklidischer Räume.- § 1. Adjungierte Abbildung.- § 2. Eigenwerttheorie selbstadjungierter Abbildungen.- § 3. Bilineare Funktionen im Euklidischen Raum.- § 4. Längentreue Abbildungen.- § 5. Drehungen der Ebene und des dreidimensionalen Raumes.- Achtes Kapitel Symmetrische Bilinearfunktionen.- § 1. Bilineare und quadratische Funktionen.- § 2. Zerlegung des Raumes A.- § 3. Gleichzeitige Reduktion zweier quadratischer Funktionen auf Diagonalgestalt.- § 4. Räume mit indefinitem Skalarprodukt.- Neuntes Kapitel Flächen zweiter Ordnung.- § 1. Der affine Raum.- § 2. Mittelpunktsflächen zweiter Ordnung.- § 3. Flächen zweiter Ordnung im Euklidischen Raum.- Zehntes Kapitel Unitäre Räume.- § 1.Hermitesche Formen.- § 2. Unitäre Räume.- § 3. Lineare Abbildungen unitärer Räume.- Elftes Kapitel Invariante Unterräume.- § 1. Der Ring der linearen Selbstabbildungen.- § 2. Zusammenhang zwischen Kern und Teilbarkeit.- § 3. Minimalpolynom.- § 4. Invariante Unterräume.- § 5. Konstruktion der unzerlegbaren Unterräume.- § 6. Unzerlegbare und vollständig zerlegbare Räume.- § 7. Anwendung auf komplexe und reelle Räume.