Dieses Buch ist aus Vorlesungen und Übungen entstanden, die ich mehrfach an der Universität Karlsruhe für Mathematiker, Physiker, Ingenieure und Informati ker gehalten habe. Es ist so geschrieben, daß es zum Selbststudium dienen kann: Die Gedankengänge ·sind ausgiebig motiviert, die Beweise detailliert, und an durchgerechneten Beispielen und gelösten Aufgaben herrscht kein Mangel. Bei der Abfassung schwebte mir vor, nicht nur ein theoretisches Gerüst aufzubau en, sondern auch eine Brücke zu den Anwendungen zu schlagen. Damit wollte ich zweierlei erreichen: erstens wollte ich ganz nüchtern und pragmatisch den Stu denten der Mathematik auf seine spätere Zusammenarbeit mit Naturwissenschaft lern und Ingenieuren einstimmen und im gleichen Atemzug auch dem "Anwen der" den Zugang zu den Differentialgleichungen erleichtern. Zweitens wollte ich - weniger nüchtern und weniger pragmatisch - den Leser auf etwas hinweisen, das zu den Wundem und Kraftquellen unserer Kultur gehört: auf die Tatsache, daß "reines" Denken, "Hirn-Gespinst" -eben Mathematik - die reale Welt nach zeichnen und umgestalten kann. Das Staunen hierüber hat denn auch alle Philo sophen ergriffen, die nicht bloß Schwadroneure waren. Und noch Einstein fragte verwundert: "Wie ist es möglich, daß die Mathematik, letztlich doch ein Produkt menschlichen Denkens, unabhängig von der Erfahrung, den wirklichen Gegeben heiten so wunderbar entspricht?" Die wissenschaftliche Revolution, die uns noch immer treibt und drängt und drückt, diese sehr revolutionäre Revolution, hat im 17. Jahrhundert begonnen, und ihre Bastillestürmer waren "Hirngespinste" par ex cellence: Newtonsehe Fluxionen und Leibnizsche Differentiale.
Inhaltsverzeichnis
I Zur Einstimmung.- 1 Beispiele von Differentialgleichungen in der Praxis.- 2 Grundbegriffe.- Historische Anmerkung. Newton und Leibniz.- II Differentialgleichungen erster Ordnung.- 3 Das Richtungsfeld und der Euler-Cauchysche Polygonzug. Das Runge-Kutta-Verfahren.- 4 Lineare, Bernoullische, Riccatische Differentialgleichung.- 5 Anwendungen.- 6 Die exakte Differentialgleichung.- 7 Integrierende Faktoren.- 8 Die Differentialgleichung mit getrennten Veränderlichen.- 9 Die eulerhomogene Differentialgleichung und die Differentialgleichung $$ \frac{{dy}}{{dx}} = f\left( {\frac{{ax + by + c}}{{\alpha x + \beta y + \gamma }}} \right) $$.- 10 Anwendungen.- Historische Anmerkung. Jakob und Johann Bernoulli.- III Existenz-, Eindeutigkeits- und Abhängigkeitssätze für Differentialgleichungen erster Ordnung.- 11 Der Existenzsatz von Peano.- 12 Der Existenz- und Eindeutigkeitssatz von Picard-Lindelöf.- 13 Abhängigkeitssätze.- Historische Anmerkung. Cauchy.- IV Lineare Differentialgleichungen höherer Ordnung mit konstanten Koeffizienten.- 14 Die lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung.- 15 Die homogene lineare Differentialgleichung n-ter Ordnung.- 16 Die inhomogene lineare Differentialgleichung n-ter Ordnung.- 17 Die Methode der Laplacetransformation.- 18 Anwendungen.- V Lineare Differentialgleichungen höherer Ordnung mit variablen Koeffizienten.- 19 Vorbemerkungen.- 20 Die Eulersche Differentialgleichung.- 21 Ein Existenz- und Eindeutigkeitssatz.- 22 Integralbasis und allgemeine Lösung der homogenen Gleichung.- 23 Reduktion der homogenen Gleichung.- 24 Die Methode der Variation der Konstanten.- 25 Stetige Abhängigkeit der Lösung eines Anfangswertproblems von den Ausgangsdaten.- 26 Potenzreihenlösungen.- 27 Reihenentwicklungen um schwach singuläre Stellen.- 28Besselsche Differentialgleichung und Besselsche Funktionen.- 29 Laguerresche Differentialgleichung und Laguerresche Polynome.- 30 Lineare Differentialgleichungen mit periodischen Koeffizienten.- 31 Die Mathieusche Differentialgleichung.- 32 Trennungs-, Oszillations- und Amplitudensätze.- 33 Anwendungen.- Historische Anmerkung. Euler.- VI Rand- und Eigenwertaufgaben.- 34 Die schwingende Saite.- 35 Lineare Randwertaufgaben zweiter Ordnung.- 36 Sturmsche Randwertaufgaben. Die Greensche Funktion.- 37 Sturm-Liouvillesche Eigenwertaufgaben.- 38 Die Integralgleichung und der Integraloperator der Sturm-Liouvilleschen Eigenwertaufgabe.- 39 Die Eigenwerte und Eigenfunktionen der Sturm-Liouvilleschen Aufgabe.- 40 Entwicklungssätze.- 41 Die Entwicklung der Greenschen Funktion nach Eigenfunktionen.- 42 Die Auflösung halbhomogener Randwertaufgaben.- 43 Iterative Bestimmung von Eigenwerten.- 44 Einschließungssätze und Extremalprinzipien.- 45 Das Ritzsche Verfahren.- Historische Anmerkung: Die schwingende Saite.- VII Systeme linearer Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten.- 46 Beispiele und Begriffsbestimmungen.- 47 Die Eliminationsmethode bei kleinen Systemen.- 48 Vektorwertige Funktionen und die Matrixexponentialfunktion.- 49 Existenz- und Eindeutigkeitssätze.- 50 Das charakteristische Polynom einer Matrix.- 51 Die Auflösung des homogenen Systems.- 52 Die Auflösung des inhomogenen Systems.- 53 Die Methode der Laplacetransformation.- 54 Allgemeinere lineare Systeme mit konstanten Koeffizienten.- 55 Anwendungen.- VIII Systeme linearer Differentialgleichungen mit variablen Koeffizienten.- 56 Der Existenz- und Eindeutigkeitssatz.- 57 Integralbasen homogener Systeme.- 58 Die Auflösung inhomogener Systeme.- IX Allgemeine Systeme von Differentialgleichungen ersterOrdnung. Die Differentialgleichung n-ter Ordnung.- 59 Beispiele und Begriffsbestimmungen.- 60 Existenz- und Eindeutigkeitssätze für Systeme.- 61 Die allgemeine Differentialgleichung n-ter Ordnung.- 62 Reduzierbare Typen von Differentialgleichungen zweiter Ordnung.- 63 Numerische Lösungsverfahren.- X Qualitative Theorie. Stabilität.- 64 Ein Beispiel: Das Lotka-Volterrasche Räuber-Beute-Modell.- 65 Grundbegriffe und Grundtatsachen.- 66 Gleichgewichtspunkte und Stabilität bei linearen Systemen mit konstanten Koeffizienten.- 67 Die Ljapunoffsche Methode.- 68 Periodische Lösungen.- 69 Anwendungen.- Anhang 1: Tabelle unbestimmter Integrale.- Anhang 2: Tabelle zur Laplacetransformation.- Lösungen ausgewählter Aufgaben.- Symbolverzeichnis.- Namen- und Sachverzeichnis.
