Ebene euklidische Geometrie

Im ersten Teil dieses Buches erklären die Autoren, wie man sich der ebenen Geometrie mit Mitteln der linearen Algebra nähern kann. Ausgehend von einer Formalisierung des Kongruenzbegriffs unter Verwendung abstandserhaltender Abbildungen werden die Kongruenzsätze bewiesen und auf dem Weg dahin Spiegelungen, Rotationen, Translationen und Schubspiegelungen eingeführt und wichtige Eigenschaften nachgewiesen. Der verwendete Beweis des Kongruenzsatzes SSS liefert den Ausgangspunkt um den Dreispiegelunssatz zu zeigen und damit alle abstandserhaltenden Abbildungen des euklidischen Vektorraums durch Spiegelungen auszudrücken.
Im zweiten Teil des Buches beschreiben die Autoren dann einen axiomatischen Zugang zur ebenen Geometrie. Dieser baut auf metrischen Räumen auf und verwendet neben dem Parallelenaxiom nur zwei weitere Axiome um die Geometrie zu beschreiben, die aus der Schulmathematik bekannt ist. Dabei wird deutlich, dass sich viele Ideen aus Teil 1 des Buches auch ohne die Grundlagen der linearen Algebra nutzen lassen. In diesem Axiomensystem werden alle wichtigen Begriffe der Schulgeometrie eingeführt und miteinander in Verbindung gesetzt. So ergibt sich ein rigoroser mathematischer Hintergrund der Elementargeometrie. Anhand zahlreicher Beispiele wird insbesondere gezeigt, wie auf dieser Grundlage typische Begriffe der Schulgeometrie definiert und typische Sätze bewiesen werden können. Am Ende des zweiten Teiles wird mit geometrischen Argumenten bewiesen, dass jede Realisierung des behandelten Axiomensystems isometrisch isomorph zum RR^2 mit dem Standard-Skalarprodukt ist. Dieses Resultat verdeutlicht, wie man die aus der Oberstufe bzw. aus dem Studium bekannte algebraische Vektorraumstruktur aus rein elementargeometrischen Überlegungen heraus erzeugen kann.
Die Schnittstellen zwischen Schulmathematik und axiomatischer Geometrie werden am Beispiel der Begriffe Kongruenz und Symmetrie vertieft. Damit werden die für das Verständnis der (Schul-)Geometrie wichtigen Zusammenhänge zwischen den Begriffen Isometrie, Kongruenz und Symmetrie transparent gemacht und in schultypische Kontexte eingebettet.
Dieses Buch eignet sich zum Selbststudium für Studierende, die in die faszinierende Welt der Geometrie eintauchen möchten, ebenso wie für Lehrerinnen und Lehrer, die mehr über Definitionen und Zusammenhänge der im Unterricht verwendeten Begriffe erfahren wollen. Für den Einsatz in der Lehre enthält das Buch zusätzliche Kommentare für Dozentinnen und Dozenten, die den Aufbau des Buches auf der Metaebene erklären und zusätzliche didaktische Hintergrundinformationen liefern.

Die Autoren
Dr. Max Hoffmann ist Lehrer für Mathematik und Informatik. Aktuell forscht und lehrt er an der Universität Paderborn in der Mathematikdidaktik.
Prof. Dr. Joachim Hilgert ist Professor im Ruhestand an der Universität Paderborn und hat zuvor die Arbeitsgruppe "Lie-Theorie" geleitet.
Prof. Dr. Tobias Weich forscht und lehrt an der Universität Paderborn und leitet dort die Arbeitsgruppe "Spektralanalysis".