Neben den elementaren Dingen, wie Tangenten, Singularitäten und Wendepunkten werden auch schwierigere Begriffe wie lokale Zweige und Geschlecht behandelt. Höhepunkte sind die klassischen Formeln von Plücker und Clebsch, die Beziehungen zwischen verschiedenen globalen und lokalen Invarianten einer Kurve beschreiben. Im Vordergrund steht die Geometrie. Die benutzten Hilfsmittel aus Algebra, Analysis und Topologie werden ausführlich erläutert. Das Buch kann auch als erste Einführung in algebraische Geometrie und komplexe Analysis dienen.
Inhaltsverzeichnis
0 Einführung.- 0.1 Geraden.- 0.2 Kreise.- 0.3 Neilsche Parabel.- 0.4 Newtonscher Knoten.- 0.5 Cartesisches Blatt.- 0.6 Zykloiden.- 0.7 Kleinsche Quartiken.- 0.8 Stetige Kurven.- 1 Affin-algebraische Kurven und ihre Gleichungen.- 1.1 Varietät einer Gleichung.- 1.2 Affin-algebraische Kurven.- 1.3 Lemma von Study.- 1.4 Komponentenzerlegung.- 1.5 Irreduzibilität und Zusammenhang.- 1.6 Minimalpolynom.- 1.7 Grad.- 1.8 Schnittpunkte mit einer Geraden.- 2 Der projektive Abschluß.- 2.1 Unendlich-ferne Punkte.- 2.2 Projektive Ebene.- 2.3 Projektiver Abschluß einer Kurve.- 2.4 Komponentenzerlegung.- 2.5 Schnittmultiplizität für Kurve und Gerade.- 2.6 Schnitt von zwei Kurven.- 2.7 Satz von Bézout.- 3 Tangenten und Singularitäten.- 3.1 Glatte Punkte.- 3.2 Singularitätenmenge.- 3.3 Lokale Ordnung.- 3.4 Tangenten in singulären Punkten.- 3.5 Ordnung und Schnittmultiplizität.- 3.6 Formel von Euler.- 3.7 Kurven durch vorgegebene Punkte.- 3.8 Anzahl der Singularitäten.- 4 Polaren und Hesse-Kurve.- 4.1 Polaren.- 4.2 Eigenschaften der Polaren.- 4.3 Schnitt der Kurve mit ihrer Polaren.- 4.4 Hesse-Kurve.- 4.5 Schnitt der Kurve mit ihrer Hesse-Kurve.- 4.6 Beispiele.- 5 Duale Kurve und Plückerformeln.- 5.1 Duale Kurve.- 5.2 Algebraizität der dualen Kurve.- 5.3 Irreduzibilität der dualen Kurve.- 5.4 Lokale numerische Invarianten.- 5.5 Biduale Kurve.- 5.6 Einfache Doppelpunkte und Spitzen.- 5.7 Plückerformeln.- 5.8 Beispiele.- 5.9 Beweis der Plückerformeln.- 6 Der Ring der konvergenten Potenzreihen.- 6.1 Globale und lokale Irreduzibilität.- 6.2 Formale Potenzreihen.- 6.3 Konvergente Potenzreihen.- 6.4 Banachalgebren.- 6.5 Substitution von Potenzreihen.- 6.6 Ausgezeichnete Variable.- 6.7 Weierstraßscher Vorbereitungssatz.- 6.8 Beweise.- 6.9 Satz über implizite Funktionen.-6.10 Henselsches Lemma.- 6.11 Teibarkeit im Potenzreihenring.- 6.12 Keime analytischer Mengen.- 6.13 Lemma von Study.- 6.14 Lokale Zweige.- 7 Parametrisierung der Kurvenzweige durch Puiseux-Reihen.- 7.1 Problemstellung.- 7.2 Theorem über die Puiseux-Reihe.- 7.3 Träger einer Potenzreihe.- 7.4 Quasihomogenes Initialpolynom.- 7.5 Der Iterationsschritt.- 7.6 Die Iteration.- 7.7 Formale Parametrisierungen.- 7.8 Theorem von Puiseux (geometrisch).- 7.9 Beweis.- 7.10 Variation der Lösungen.- 7.11 Konvergenz der Puiseux-Reihe.- 7.12 Linearfaktorzerlegung von Weierstraßpolynomen.- 8 Tangenten und Schnittmultiplizitäten von Kurvenkeimen.- 8.1 Tangenten von Kurvenkeimen.- 8.2 Tangenten in glatten und singulären Punkten.- 8.3 Lokale Schnittmultiplizität mit einer Geraden.- 8.4 Lokale Schnittmultiplizität mit einem irreduziblen Keim.- 8.5 Lokale Schnittmultiplizität von Kurvenkeimen.- 8.6 Schnittmultiplizität und Ordnung.- 8.7 Lokale und globale Schnittmultiplizität.- 9 Die Riemannsche Fläche zu einer algebraischen Kurve.- 9.1 Riemannsche Flächen.- 9.2 Beispiele.- 9.3 Desingularisierung einer algebraische Kurve.- 9.4 Beweis.- 9.5 Zusammenhang einer Kurve.- 9.6 Formel von Riemann-Hurwitz.- 9.7 Geschlechtsformel für glatte Kurven.- 9.8 Geschlechtsformel für Plückerkurven.- 9.9 Geschlechtsformel von Max Noether.- A.1 Die Resultante.- A 1.1 Resultante und gemeinsame Nullstellen.- A 1.2 Diskriminante.- A 1.3 Resultante homogener Polynome.- A 1.4 Resultante und Linearfaktoren.- A.2 Überlagerungen.- A 2.1 Definitionen.- A 2.2 Eigentliche Abbildungen.- A 2.3 Liftung von Wegen.- A.3 Der Satz über implizite Funktionen.- A.4 Das Newton-Polygon.- A 4.1 Das Newton-Polygon einer Potenzreihe.- A 4.2 Das Newton-Polygon eines Weierstraßpolynoms.- A.5 Eine numerische Invariante vonKurvensingularitäten.- A 5.1 Analytische Äquivalenz von Singularitäten.- A 5.2 Grad einer Singularität.- A 5.3 Allgemeine Klassenformel.- A 5.4 Allgemeine Geschlechtsformel.- A 5.5 Grad und Ordnung.- A 5.6 Beispiele.- A.6 Die Ungleichung von Harnack.- A 6.1 Reell-algebraische Kurven.- A 6.2 Zusammenhangskomponenten und Grad.- A 6.3 Homologie mit Koeffizienten in ?/2?.- Symbolverzeichnis.
