Mengen - Zahlen - Zahlbereiche

Dieses Buch wendet sich an Studierende des Fachs Mathematik im ersten Semester und enthält das Basiswissen, welches in den Anfängervorlesungen behandelt und im Laufe des Studiums immer wieder gebraucht wird.

Hauptsächlicher Gegenstand dieses Buches sind Mengen von Zahlen. Einerseits kennen wir Zahlen aus naiver Erfahrung und gehen täglich damit um. Andererseits haben diese Zahlen interessante Eigenschaften, deren Verständnis Kenntnisse über mathematische Grundstrukturen voraussetzen. Die Vermittlung dieser Kenntnisse ist ein wichtiges Ziel dieses Buches.

Das Buch dient allerdings nicht nur der Einführung der wichtigsten Zahlbereiche von den natürlichen bis zu den komplexen Zahlen und darüber hinaus, sondern behandelt auch ausführlich den in der Mathematik fundamentalen Mengen- und Funktionsbegriff. Zudem können Sie sich schon an Begriffe und Techniken gewöhnen, die in den beiden mathematischen Grundvorlesungen Analysis und Lineare Algebra zentral sind.

Ein besonderes Merkmal dieses Buches ist die Vielzahl der Beispiele und Gegenbeispiele. Einen neuen mathematischen Begriff kann man erfahrungsgemäß oft besser verstehen, wenn er zunächst anhand einfacher Beispiele und Gegenbeispiele erklärt wird, statt gleich in voller Allgemeinheit eingeführt zu werden.

Ähnliches gilt für Übungsaufgaben: Neue Begriffe, Methoden und Ergebnisse lernt man nicht durch Lesen oder Zuhören, sondern nur durch den Umgang damit. Daher enthält das Buch ein Kapitel mit etwa 300 Übungsaufgaben. Zu einigen der etwas anspruchsvolleren Aufgaben finden Sie am Schluss des Buches Lösungshinweise.

Einleitung

1 Aussagen und Mengen
1.1 Etwas Aussagenlogik
1.2 Einige Beweistechniken
1.3 Das Rechnen mit reellen Zahlen
1.4 Operationen mit Mengen

2 Funktionen und Mächtigkeiten
2.1 Injektive und surjektive Funktionen
2.2 Monotone Funktionen
2.3 Zahlenfolgen
2.4 Gleichmächtige Mengen und Abzählbarkeit

3 Natürliche und ganze Zahlen
3.1 Halbgruppen und Gruppen
3.2 Das Prinzip der vollständigen Induktion
3.3 Fakultäten und Binomialkoeffizienten
3.4 Teilbarkeit und Primzahlen
3.5 Der Hauptsatz der Arithmetik
3.6 Pythagoreische Tripel
3.7 p-adische Zahlensysteme

4 Rationale, reelle und komplexe Zahlen
4.1 Ringe und Körper
4.2 Homomorphismen und Isomorphismen
4.3 Rationale und reelle Zahlen
4.4 Komplexe Zahlen
4.5 Wichtige transzendente Zahlen
4.6 Höhere Zahlbereiche

5 Äquivalenzrelationen und Ordnungsrelationen
5.1 Äquivalenzrelationen und -klassen
5.2 Restklassenringe
5.3 Ordnungsrelationen
5.4 Boole'sche Verbände

6 Aufbau des Zahlensystems
6.1 Die Peano-Axiome
6.2 Konstruktion der ganzen Zahlen
6.3 Konstruktion der rationalen Zahlen
6.4 Konstruktion der reellen Zahlen
6.5 Einzigkeit der Menge der reellen Zahlen

7 Aufgaben
7.1 Aufgaben zum 1. Kapitel
7.2 Aufgaben zum 2. Kapitel
7.3 Aufgaben zum 3. Kapitel
7.4 Aufgaben zum 4. Kapitel
7.5 Aufgaben zum 5. Kapitel
7.6 Aufgaben zum 6. Kapitel
7.7 Lösungshinweise zu ausgewählten Aufgaben

Anhang
Einige Bezeichnungen und Abkürzungen
Englische mathematische Ausdrücke

Literaturverzeichnis
Symbol-Index
Stichwort-Index