Analysis 1

Dieses Buch ist entstanden aus der Ausarbeitung einer Vorlesung, die ich im WS 1970/71 für Studenten der Mathematik und Physik des ersten Semesters an der Universität Regensburg gehalten habe. Diese Ausarbeitung wurde später von verschiedenen Kollegen als Begleittext zur Vorlesung benutzt. Der Inhalt umfaßt im wesentlichen den traditionellen Lehrstoff der Analysis· Kurse des ersten Semesters an deutschen Universitäten und Technischen Hoch­ schulen. Bei der Stoffauswahl wurde angestrebt, dem konkreten mathematischen Inhalt, der auch für die Anwendungen wichtig ist, vor einem großen abstrakten Begriffsapparat den Vorzug zu geben und dabei gleichzeitig in systematischer Weise möglichst einfach und schnell zu den grundlegenden Begriffen (Grenzwert, Stetigkeit, Differentiation, Riemannsches Integral) vorzudringen und sie mit vielen Beispielen zu illustrieren. Deshalb wurde auch die Einführung der elemen­ taren Funktionen vor die Abschnitte über Differentiation und Integration gezogen, um dort genügend Beispielmaterial zur Verfligung zu haben. Auf die numerische Seite der Analysis (Approximation von Größen, die nicht in endlich vielen Schritten berechnet werden können) wird an verschiedenen Stellen eingegangen, um den Grenzwertbegriff konkreter zu machen. Der Umfang des Stoffes ist so angelegt, daß er in einer vierstündigen Vorlesung in einem Wintersemester durchgenommen werden kann. Die einzelnen Para­ graphen entsprechen je nach Länge einer bis zwei Vorlesungs-Doppelstunden. Bei Zeitmangel können die §§ 17 und 23 sowie Teile der §§ 16 (Konvexität) und 20 (Gamma-Funktion) weggelassen werden. Für seine Unterstützung möchte ich mich bei Herrn D. Leistner bedanken. Er hat die seinerzeitige Vorlesungs-Ausarbeitung geschrieben, beim Lesen der Korrek­ turen geholfen und das Namens-und Sachverzeichnis erstellt. o.

§ 1. Vollständige Induktion.- § 2. Die Körperaxiome.- § 3. Anordnungsaxiome.- § 4. Folgen, Grenzwerte.- § 5. Das Vollständigkeitsaxiom.- § 6. Quadratwurzeln.- § 7. Konvergenzkriterien für Reihen.- § 8. Die Exponentialreihe.- § 9. Punktmengen.- § 10. Funktionen, Stetigkeit.- § 11. Sätze über stetige Funktionen.- § 12. Logarithmus und allgemeine Potenz.- § 13. Die Exponentialfunktion im Komplexen.- § 14. Trigonometrische Funktionen.- § 15. Differentiation.- § 16. Lokale Extrema. Mittelwertsatz. Konvexität.- § 17. Numerische Lösung von Gleichungen.- § 18. Das Riemannsche Integral.- § 19. Integration und Differentiation.- § 20. Uneigentliche Integrale. Die Gamma-Funktion.- § 21. Gleichmäßige Konvergenz von Funktionenfolgen.- § 22. Taylor-Reihen.- § 23. Fourier-Reihen.- Zusammenstellung der Axiome der reellen Zahlen.- Literaturhinweise.- Namens- und Sachverzeichnis.- Kurzbiographie des Autors.- Symbolverzeichnis.