Bekanntlich kann man in Rn (oder 0") (d. h. in einem Vektorraum uber R oder 0) eine lineare Abbildung a (im. vorliegenden Kapitel werden wir allgemein diese Schreibweise verwenden) vermittels der zu dieser Transformation gehorenden Matrix A bezuglich der Fundamentalbasis PlJ = {e ea , en} von Rn definieren. 1 Die i-te Spalte von A ist a(ei). Es sei PlJ' = lei, e . . e~} eine andere Basis von 2 Rn. Einem Vektor entsprechen die Zahlen ~1' . . . ~~, so daB X = ~i ei + ~2 e+ . . . + ~~ e~ ist; die 2 Zahlen ~~ sind die Komponenten von X bezuglich der Basis PlJ'. Sie konnen in einer Spalte angeordnet werden, und man erhalt damit den (Spalten-)Vektor Man erkennt sogleich, wie die Komponenten von X' in Abhangigkeit von X zu berechnen sind. Es seien . . e e e e ei = P11 l + P21 a + . . . + Pnl n = E Pk1 k, k=l (I) n e~ = PI . . e+ Pan e+ . . . + p, ." en = E Ph ek 1 a k=l ej = 1; Pkjek). Fur X ergibt sich daraus (oder k=l X = i ~iej = i ~i (i Pklek) = 1; (i Pkj~l) ek = i ~kek.
Inhaltsverzeichnis
1. Elementare Eigenschaften von Matrizen. - 1. 1. Allgemeine Theorie. - 1. 2. Matrizenrechnung. - 2. Vektor- und Matrizennormen. - 2. 1. Grundlegende Eigenschaften. - 3. Invertierung von Matrizen Theorie. - 3. 1. Lineare Unabhängigkeit von Vektoren. - 3. 2. Hauptsatz über die Existenz von Lösungen eines homogenen linearen Systems mit mehr Unbekannten als Gleichungen. - 3. 3. Dimension. - 3. 4. Isomorphie des Rn (bzw. Cn) zu jedem Vektorraum über R (bzw. C) von endlicher Dimension n. - 3. 5. Umkehrbarkeit einer linearen Abbildung von Rn in Rm (bzw. von Cn in Cm). - 3. 6. Linearität der inversen Abbildung einer umkehrbaren linearen Abbildung. Inverse Matrix. - 3. 7. Indikator der linearen Unabhängigkeit. - 3. 8. Eigenschaften der Determinanten. - 3. 9. Existenz und Konstruktion von Determinanten. - 3. 10. Formeln und Definitionen. - 3. 11. Notwendige und hinreichende Bedingungen für die Invertierbarkeit einer Matrix A aus ? (n, n). - 3. 12. Invertierbarkeit und Norm. - 3. 13. Lösung eines linearen Systems (Theorie). - 4. Direkte Lösungsmethoden für lineare Systeme. - 4. 1. Diagonalsysteme. - 4. 2. Dreieckssysteme. - 4. 3. Invertierung von Dreiecksmatrizen. - 4. 4. Allgemeiner Fall: Der Gaußsche Algorithmus oder die Methode der einfachen Elimination. - 4. 5. Der Gaußsche Algorithmus zur Lösung eines linearen Systems. Einfache Elimination; Rechenschema. - 4. 6. Verbesserter Gaußscher Algorithmus. Das Verfahren von Crout. - 4. 7. Die Methode von Jordan (Diagonalisierungsverfahren. Vollständige Elimination). - 4. 8. Orthogonalisierungsmethoden. Schmidtsches Verfahren. - 4. 9. Anwendung der allgemeinen direkten Verfahren zur Invertierung einer Matrix. - 4. 10. Berechnung von Determinanten. - 4. 11. Systeme mit symmetrischen Matrizen. - 4. 12. Teilmatrizenverfahren. - 4. 13. Ergänzungsverfahren. - Aufgaben zu denKapiteln 1 4. - 5. Indirekte Lösungsmethoden. - 5. 1. Iteration und Relaxation. - 5. 2. Lineare Iteration. - 5. 3. Iterationen durch Projektionsmethoden. - 5. 4. Iterationen für Systeme mit symmetrischer Matrix. - 5. 5. Bemerkungen (für den Fall nichtsymmetrischer Systeme). - 5. 6. Bemerkungen zur Konvergenz und Konvergenzverbesserung. - 5. 7. Verbesserung der Elemente einer inversen Matrix (Hotelmng-Bodewig). - Aufgaben zu Kapitel 5. - 6. Invariante Unterräume. - 6. 1. Einführung. - 6. 2. Invariante Unterräume. - 6. 3. Polynomtransformationen. - 6. 4. Invariante Unterräume und Polynomtransformationen. - 6. 5. Diagonalform. - 6. 6. Das charakteristische Polynom. - 6. 7. Polynommatrizen. Elementarteiler von Polynommatrizen. - 6. 8. Normalformen. Basen bezüglich einer linearen Transformation. - 6. 9. Funktionen von linearen Transformationen (Matrizenfunktionen). - 7. Anwendung der Eigenschaften invarianter Unterräume. - 7. 1. Der Satz von Schub und Schlußfolgerungen. - 7. 2. Polare Zerlegung. - 7. 3. Matrizen mit nichtnegativen Elementen. - 7. 4. Graphentheorie und Matrizen mit positiven Elementen. - 7. 5. Vergleich der klassischen linearen Iterationen. - 7. 6. Die Young-Frankelsche Theorie der Überrelaxation. - 7. 7. Die Polynommethode. Das Verfahren von Peaceman-Rachford. - 7. 8. Approximation des Spektralradius einer Matrix über eine Norm. - 8. Numerische Verfahren zur Berechnung von Eigenwerten und Eigenvektoren. - 8. 1. Methoden zur direkten Bestimmung der charakteristischen Gleichung. - 8. 2. Bestimmung des charakteristischen Polynoms mit Hilfe von Ähnlichkeitstransformationen. - 8. 3. Berechnung von Eigenwerten und Eigenvektoren durch Iterationsverfahren (für nicht notwendig symmetrische Matrizen). - 8. 4. Hermitesche (bzw. symmetrische) Matrizen. - Aufgaben zu den Kapiteln 6 8. - Literatur. - Namen- undSachverzeichnis.
