Mathematik für Naturwissenschaften: Analysis

Ziel dieses Buches ist eine angewandte Einführung in die Grundthemen der Analysis für Studierende der Natur- und Ingenieurwissenschaften. Schwerpunkt sind die Integral- und Differentialrechnung, das Modellieren mithilfe von Differentialgleichungen, die Behandlung von einigen elementaren numerischen Methoden sowie eine Einführung in komplexe Zahlen. Sowohl bei der Entwicklung der mathematischen Konzepte als auch in den zahlreichen Übungen wird auf eine anwendungsbezogene und verständnisorientierte Heranführung an die Themen geachtet.

Vorwort ix
1 Folgen und Reihen 1
1. 1 Diskrete und kontinuierliche Modelle 1
1. 2 Folgen 4
1. 3 Konvergenz und Grenzwerte von Folgen 6
1. 4 Reihen 13
1. 4. 1 Beispiele und Definition 13
1. 4. 2 Konvergenzkriterien für Reihen 16
1. 5 Übungsaufgaben 24
2 Integralrechnung I 27
2. 1 Eine Anwendung: Schadstoffe in Grundwasser 27
2. 2 Das bestimmte Integral 31
2. 3 Anwendungen des bestimmten Integrals 44
2. 4 Numerische Integration 51
2. 5 Übungsaufgaben 61
3 Differentialrechnung 69
3. 1 Begriff der Ableitung 69
3. 2 Ableitungsregeln 74
3. 3 Extremalrechnung 80
3. 4 Mittelwertsatz 88
3. 5 Taylor-Approximationen 90
3. 6 Newton-Raphson-Methode 99
3. 7 Numerisches Differenzieren 106
3. 8 Übungsaufgaben 110
4 Integralrechnung II 115
4. 1 Mittelwert einer Funktion 115
4. 2 Hauptsatz der Integral- und Differentialrechnung 117
4. 3 Weitere Anwendungen des bestimmten Integrals 123
4. 4 Integrationsregeln 126
4. 5 Übungsaufgaben 132
5 Modellieren mit Differentialgleichungen 139
5. 1 Kinetik 139
5. 2 Fluidmechanik 145
5. 3 Mischvorgänge 148
5. 4 Wachstumsprozesse 151
5. 5 Übungsaufgaben 155
6 Lösungsmethoden für Differentialgleichungen 159
6. 1 Anfangs- und Randwertprobleme 159
6. 2 Lineare Differentialgleichungen 2. Ordnung 161
6. 3 Separation 171
6. 4 Grafische Lösung 173
6. 5 Numerische Verfahren 181
6. 6 Übungsaufgaben 191
7 Komplexe Zahlen 197
7. 1 Eine neue Zahlenklasse C 198
7. 2 Die komplexe Exponentialfunktion 202
7. 3 Geometrische Darstellung 206
7. 4 Die komplexe Logarithmusfunktion 211
7. 5 Lösungen von polynomialen Gleichungen 213
7. 6 Übungsaufgaben 221
A Kurzeinführung inOCTAVE 225
B Lösungen zu den Übungsaufgaben 233
Index 321