Analysis 3

Das vorliegende Buch stellt den dritten Teil eines Analysis-Kurses für Studenten der Mathe­ matik und Physik dar und umfaßt die Integralrechnung im ! Rn mit Anwendungen. Die mehrdimensionale Integration ist wahrscheinlich innerhalb der mathematischen Grund­ vorlesungen das unangenehmste Stoffgebiet. Das hat verschiedene Gründe. Einerseits bleibt die Integrationstheorie unbefriedigend, wenn nicht das Lebesguesche Integral eingeführt wird. Dessen Einführung verbraucht aber meist soviel Zeit, daß am Schluß der Vorlesung der Student nicht in der Lage ist, die Oberfläche einer Kugel auszurechnen, ganz zu schwei­ gen von der Kenntnis der Integralsätze. Will man aber andererseits die Integralsätze in ihrer heutigen eleganten Form darstellen, so muß der ganze Differentialformenkalkül auf Mannig­ faltigkeiten eingeführt werden, was wiederum kaum Zeit für die maßtheoretische Seite der Integrationstheorie und für Anwendungen läßt, von denen es vor allem in der klassischen Analysis so viele gibt und die heute immer mehr in Vergessenheit geraten. Für dieses Dilemma konnte auch im vorliegenden Buch keine Ideal-Lösung gefunden wer­ den. Es wurde aber versucht, zu einem vernünftigen Kompromiß zu kommen. Insbesondere wird der ermüdende systematische Aufbau der Theorie immer wieder durch Paragraphen unterbrochen, in denen Beispielmaterial bereitgestellt oder Anwendungen besprochen werden.

Integral für stetige Funktionen mit kompaktem Träger.- Die Transformationsformel.- Partielle Integration.- Integral für halbstetige Funktionen.- Berechnung einiger Volumina.- Lebesgue-integrierbare Funktionen.- Nullmengen.- Rotationssymmetrische Funktionen.- Konvergenzsätze.- Die L p -Räume.- Parameterabhängige Integrale.- Fourier-Integrale.- Die Transformationsformel für Lebesgue-integrierbare Funktionen.- Integration auf Untermannigfaltigkeiten.- Der Gaußsche Integralsatz.- Die Potentialgleichung.- Distributionen.- Pfaffsche Formen. Kurvenintegrale.- Differentialformen höherer Ordnung.- Integration von Differentialformen.- Der Stokessche Integralsatz.