Allgemeine Topologie I

Ideen und Konzepte der "Allgemeinen Topologie" werden anhand einfacher Beispiele vorgestellt und anschließend konsequent entwickelt. Alle wesentlichen Begriffe werden anschaulich gewonnen.

Der didaktische Aufbau folgt der Idee des "learn & check" - weshalb an allen wichtigen Stellen Übungsaufgaben unterschiedlicher Schwierigkeitsgrade bereitstehen, für die es Lösungsvorschläge am jeweiligen Kapitelende gibt.

Aus dem Inhalt:
- Mengentheoretische Grundlagen
- Das Konzept Topologischer Raum
- Topologische Konstruktionen
- Trennungseigenschaften
- Kompaktheit
- Zusammenhängende Räume
- Literaturverzeichnis und Index

1;Inhaltsverzeichnis;8 2;Vorwort;12 3;1 Mengentheoretische Grundlagen;18 3.1;1.1 Mengen, Relationen, Abbildungen;18 3.1.1;1.1.1 Mengen und Mengenoperationen;18 3.1.2;1.1.2 Relationen und Abbildungen;20 3.2;1.2 Axiomatik;28 3.2.1;1.2.1 Einleitende Dar- und Klarstellung;28 3.2.2;1.2.2 Was soll am Begriff Menge" eigentlich unklar sein?;30 3.2.3;1.2.3 Die hoffentlich harmlosen 10 Gebote;31 3.2.4;1.2.4 Das Auswahlaxiom;36 3.2.5;1.2.5 Ordinalzahlen;46 3.3;1.3 Mächtigkeiten, Kardinalzahlen;51 3.4;1.4 Filter und Ultra.lter;60 3.4.1;1.4.1 Einige Definitionen und elementare Eigenschaften;61 3.4.2;1.4.2 Filter und Abbildungen;67 3.4.3;1.4.3 Wie viele Ultraflter gibt es auf einer Menge?;73 3.5;Lösungsvorschläge;74 4;2 Das Konzept;80 4.1;2.1 Metrische Räume;80 4.2;2.2 Topologische Räume;89 4.2.1;2.2.1 Offener Kern und abgeschlossene H ülle;93 4.2.2;2.2.2 Vergleich und Erzeugung von Topologien;99 4.2.3;2.2.3 Abzählbarkeitseigenschaften;103 4.2.4;2.2.4 Stetigkeit;106 4.2.5;2.2.5 Kurze Anmerkung über Netze ( Moore- Smith- Folgen);113 4.3;Lösungsvorschläge;116 5;3 Einige topologische Konstruktionen;120 5.1;3.1 Initiale und finale Topologie;120 5.1.1;3.1.1 Spurtopologie;123 5.1.2;3.1.2 Quotiententopologie;125 5.1.3;3.1.3 Produkte und Coprodukte;127 5.2;Lösungsvorschläge;130 6;4 Trennungseigenschaften;136 6.1;4.1 Die schwachen Trennungsaxiome;136 6.2;4.2 Hausdorff-Räume;139 6.3;4.3 Eine Symmetriebedingung:;144 6.4;4.4 Aus der Reihe tanzende Trennungsaxiome:;146 6.5;Lösungsvorschläge;159 7;5 Kompaktheit;164 7.1;5.1 Kompakte Räume und Teilmengen;164 7.1.1;5.1.1 Variationen zum Thema Abzählbarkeit;171 7.2;5.2 Relative Kompaktheit;175 7.2.1;5.2.1 Was haben kompakte Teilmengen, was relativ kompakte nicht haben?;179 7.2.2;5.2.2 Eine abzählbare Anwendung;181 7.3;5.3 Lokale Kompaktheit;184 7.4;5.4 Kompaktifizierungen;201 7.4.1;5.4.1 Alexandroff-Kompaktifzierung;202 7.4.2;5.4.2 Stone-Cech-Kompaktifizierung;205 7.4.3;5.4.3 Wallman-Kompaktifizierung;216 7.5;5.5 Metakompakt, parakompakt voll norm
al;223 7.5.1;5.5.1 Einige Überdeckungseigenschaften;223 7.5.2;5.5.2 Charakterisierung durch Filterkonvergenz;228 7.5.3;5.5.3 Der Satz von Michael & Stone;233 7.5.4;5.5.4 Ein Blick zurück: Metrisierbarkeit;239 7.6;Lösungsvorschläge;247 8;6 Zusammenhang;254 8.1;6.1 Zusammenhängende Räume;254 8.2;6.2 Wegzusammenhang;260 8.3;6.3 Lokalisation;265 8.4;6.4 Besonders Unzusammenhängendes;271 8.5;Lösungsvorschläge;275 9;Literaturverzeichnis;280 9.1;Ergänzende und weiterführende Literatur:;281 9.2;Empfohlene Internetseiten:;283 10;Index;285