Topologie

Das Ziel des Buches ist eine umfassende Einführung sowohl in die geometrische wie die algebraische Topologie. Dabei werden lediglich gute Kenntnisse aus dem Grundstudium der Mathematik vorausgesetzt, die über die Analysis und Lineare Algebra kaum hinausgehen; alle weiteren Hilfsmittel, wie die Grundbegriffe der mengentheoretischen Topologie, die Theorie der topologischen Gruppen und die elementare homologische Algebra, werden ebenfalls ausführlich dargestellt. Im Vordergrund stehen jedoch nicht die hieraus hervorgehenden technischen Apparate, die vielfach eine nur schwer zu überwindende Hürde beim Studium der Topologie bilden, sondern die geometrischen Fragestellungen, die erst den Anlass zu ihrer Entwicklung gaben.

1 Einführung.- 1.1 Der Homöomorphie-Begriff.- 1.2 Zusammenhang.- 1.3 Kurven in der Ebene.- 1.4 Der Brouwersche Fixpunktsatz.- 1.5 Die Umlaufszahl.- 1.6 Der Satz vom Igel.- 1.7 Orthogonale Multiplikationen.- 2 Allgemeine Topologie.- 2.1 Topologische Räume und stetige Abbildungen.- 2.2 Konstruktion topologischer Räume.- 2.3 Trennung und Zusammenhang.- 2.4 Kompaktheit.- 2.5 Quotientenräume.- 3 Homotopie.- 3.1 Die Fundamentalgruppe.- 3.2 Der Homotopiebegriff.- 3.3 Höhere Homotopie-Gruppen.- 3.4 Simpliziale Approximation.- 3.5 Fundamentalgruppen endlicher Polyeder.- 3.6 Überlagerungen.- 3.7 Klassifikation von Überlagerungen.- 3.8 Flächen.- 4 Lie-Gruppen und homogene Räume.- 4.1 Topologische Gruppen.- 4.2 Operationen topologischer Gruppen.- 4.3 Die klassischen Gruppen.- 4.4 Lie-Gruppen.- 4.5 Die Spin-Gruppe.- 4.6 Clifford-Vektorfelder.- 4.7 Stiefel-Mannigfaltigkeiten.- 5 Homologie.- 5.1 Homologie-Gruppen.- 5.2 Ketten-Komplexe.- 5.3 Kategorien und Funktoren.- 5.4 Die Eilenberg-Steenrod-Axiome.- 5.5 Ausbau der Homologie-Theorie.- 5.6 Erste Anwendungen.- 5.7 Der Abbildungsgrad.- 5.8 Zelluläre Homologie.- 5.9 Euler- und Lefschetz-Zahl.- 6 Produkte.- 6.1 Homologische Algebra.- 6.2 Koeffizienten-Theoreme.- 6.3 Die Künneth-Formel.- 6.4 Kohomologie.- 6.5 Das Cup-Produkt.- 6.6 Die Hopf-Invariante.- 6.7 H-Räume.- A Anhang.- A.1 Moduln über Hauptideal-Ringen.- A.2 Tensor-Produkte.- A.3 Graduierte Algebren.- A.4 Das Haarsche Maß.- A.5 Der Satz von Eilenberg-Zilber.- A.6 Trennungs-Axiome.- Verzeichnisse.- Sachwortverzeichnis.- Symbolverzeichnis.- Standard-Bezeichnungen.