Hauptziel des Buches ist die Vermittlung des Grundbestandes der Algebraischen Zahlentheorie einschließlich der Theorie der normalen Erweiterungen bis hin zu einem Ausblick auf die Klassenkörpertheorie. Gleichberechtigt mit algebraischen Zahlen werden auch algebraische Funktionen behandelt. Dies geschieht einerseits um die Analogie zwischen Zahl- und Funktionenkörpern aufzuzeigen, die besonders deutlich im Falle eines endlichen Konstantenkörpers ist. Andererseits erhält man auf diese Weise eine Einführung in die Theorie der "höheren Kongruenzen" als eines wesentlichen Bestandteils der "Arithmetischen Geometrie".
Obgleich das Buch hauptsächlich algebraischen Methoden gewidmet ist, findet man in der Einleitung auch einen kurzen Beweis des Primzahlsatzes nach Newman. In den Kapiteln 7 und 8 wird die Theorie der Heckeschen L-Reihen behandelt einschließlich der Verteilung der Primideale algebraischer Zahlkörper in Kegeln.
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung.- 1.1 Pythagoräische Zahlentripel.- 1.2 Die Pellsche Gleichung.- 1.3 Die Fermatsche Vermutung.- 1.4 Kongruenzen.- 1.5 Public Key Cryptology.- 1.6 Quadratische Reste.- 1.7 Primzahlverteilung.- 1.8 Der Primzahlsatz.- 2 Die Geometrie der Zahlen.- 2.1 Binäre quadratische Formen.- 2.2 Vollständige zerlegbare Formen n-ten Grades.- 2.3 Moduln und Ordnungen.- 2.4 Vollständige Moduln in endlichen Erweiterungen von P.- 2.5 Die ganzen Zahlen quadratischer Zahlkörper.- 2.6 Weitere Beispiele für die Bestimmung einer Z-Basis.- 2.7 Die Endlichkeit der Klassenzahl.- 2.8 Die Einheitengruppe.- 2.9 Ansatz zum Beweis des Dirichletschen Einheitensatzes.- 2.10 Der Rang von 1(E).- 2.11 Der Regulator einer Ordnung.- 2.12 Der Gitterpunktsatz.- 2.13 Die Minkowskische Geometrie der Zahlen.- 2.14 Anwendung auf vollständige zerlegbare Formen.- 3 Die Dedekindsehe Idealtheorie.- 3.1 Grundlegende Definitionen.- 3.2 Der Hauptsatz der Dedekindschen Idealtheorie.- 3.3 Folgerungen aus dem Hauptsatz.- 3.4 Die Umkehrung des Hauptsatzes.- 3.5 Die Norm eines Ideals.- 3.6 Kongruenzen.- 3.7 Lokalisierung.- 3.8 Die Zerlegung eines Primideals in einer endlichen Erweiterung.- 3.9 Die Klassengruppe eines algebraischen Zahlkörpers.- 3.10 Relative Erweiterungen.- 3.11 Geometrische Deutung.- 3.12 Differente und Diskriminante.- 4 Bewertungen.- 4.1 Bewertete Körper.- 4.2 Die Bewertungen des Körpers der rationalen Zahlen.- 4.3 Vervollständigung.- 4.4 Vollständige Körper bezüglich einer diskreten Bewertung.- 4.5 Fortsetzung einer Bewertung eines vollständigen Körpers.- 4.6 Endliche Erweiterungen eines vollständigen Körpers.- 4.7 Vollständige Körper mit endlichem Restklassenkörper.- 4.8 Fortsetzung der Bewertung eines beliebigen Körpers.- 4.9 Die Arithmetik im Kompositum zweierErweiterungen.- 5 Algebraische Funktionen einer Unbestimmten.- 5.1 Algebraische Funktionenkörper.- 5.2 Die Stellen eines algebraischen Funktionenkörpers.- 5.3 Der einem Divisor zugeordnete Funktionenraum.- 5.4 Differentiale.- 5.5 Erweiterungen des Konstantenkörpers.- 5.6 Der Satz von Riemann-Roch.- 5.7 Funktionenkörper vom Geschlecht 0.- 5.8 Funktionenkörper vom Geschlecht 1.- 6 Normale Erweiterungen.- 6.1 Zerlegungsgruppe und Verzweigungsgruppen.- 6.2 Neuer Beweis des Dedekindschen Differentensatzes.- 6.3 Primidealzerlegung in einem Zwischenkörper.- 6.4 Kreisteilungskörper.- 6.5 Der erste Fall der Fermatschen Vermutung.- 6.6 Lokalisierung.- 6.7 Die obere Numerierung der Verzweigungsgruppen.- 6.8 Kummersche Erweiterungen.- 7 L-Reihen.- 7.1 Von der Riemannschen ?-Funktion zu den Heckeschen L-Reihen.- 7.2 Normierte Bewertungen.- 7.3 Adele.- 7.4 Idele.- 7.5 Ideleklassengruppe und Strahlklassengruppe.- 7.6 Hecke-Charaktere.- 7.7 Analysis auf lokalen additiven Gruppen.- 7.8 Analysis auf der Adelegruppe.- 7.9 Die multiplikative Gruppe eines lokalen Körpers.- 7.10 Die lokale Funktionalgleichung.- 7.11 Berechnung von ?(c) für K = R.- 7.12 Berechnung von ?(c) für K = C.- 7.13 Berechnung der ?-Faktoren für K nicht-archimedisch.- 7.14 Beziehungen zwischen ?-Faktoren.- 7.15 Analysis auf der Idelegruppe.- 7.16 Globale ?-Funktionen.- 7.17 Die Dedekindsche ?-Funktion.- 7.18 Heckesche L-Reihen.- 7.19 Kongruenz-Zetafunktionen.- 8 Anwendungen der Heckeschen L-Reihen.- 8.1 Die Zerlegung von Primzahlen in algebraischen Zahlkörpern.- 8.2 Das Nichtverschwinden der L-Reihen an der Stelle 1.- 8.3 Die Verteilung von Primidealen in algebraischen Zahlkörpern.- 8.4 Die verallgemeinerte Riemannsche Vermutung.- 9 Quadratische Zahlkörper.- 9.1 Quadratische Formen und Ordnungenin quadratischen Zahlkörpern.- 9.2 Berechnung der Klassenzahl imaginär-quadratischer Zahlkörper.- 9.3 Kettenbrüche.- 9.4 Periodische Kettenbrüche.- 9.5 Die Grundeinheit in Ordnungen von reell-quadratischen Zahlkörpern.- 9.6 Der Charakter eines quadratischen Zahlkörpers.- 9.7 Die arithmetische Klassenzahlformel.- 9.8 Die Berechnung der Gaußschen Summe.- 10 Ausblick.- 10.1 Absolut-abelsche Erweiterungen.- 10.2 Der Klassenkörper zur Strahlklassengruppe.- 10.3 Lokale Klassenkörpertheorie.- 10.4 Formulierung der Klassenkörpertheorie mit Hilfe von Idelen.- A Teilbarkeitstheorie.- A.1 Teilbarkeit in Monoiden.- A.2 Hauptidealringe.- A.3 Euklidische Ringe.- A.4 Endlich erzeugte Moduln über Hauptidealringen.- A.5 Moduln über Euklidischen Ringen.- A.6 Arithmetik von Polynomen über Ringen.- B Spur, Norm, Differente und Diskriminante.- C Harmonische Analyse auf lokalkompakten abelschen Gruppen.- C.1 Topologische Gruppen.- C.2 Der Pontrjaginsche Dualitätssatz.- C.3 Das Haarsche Integral.- C.4 Das beschränkte direkte Produkt.- C.5 Die Poissonsche Summenformel.- Sachwortverzeichnis.
