Differentialgeometrie

Dieses Buch entstand aus Vorlesungen über das Thema "Differentialgeometrie", die der Autor wiederholt und an verschiedenen Orten gehalten hat. Vom Umfang her ent spricht es einer einsemestrigen Vorlesung über klassische Differentialgeometrie (das sind die Kapitel 1-4 des Buches), gefolgt von einer ebenfalls einsemestrigen Vorlesung über Riemannsche Geometrie (Kapitel 5-8). Die wesentlichen Vorkenntnisse sollten in den üblichen Standardvorlesungen des Grundstudiums (1. -3. Semester) bereitgestellt sein: Lineare Algebra und Analysis, einschließlich Differential- und Integralrechnung in meh reren Veränderlichen. Komplexe Funktionen werden lediglich in Abschnitt 3D (Minimal flächen) verwendet. Daher eignet sich das Buch als Begleitlektüre zu einer Vorlesung ab dem 4. Semester, und zwar ausdrücklich auch für Lehramtsstudenten und - das gilt besonders für das Kapitel 8 - auch für Physikstudenten. Naturgemäß kann der Anspruch nicht sein, dabei wissenschaftliches Neuland zu betreten. Vielmehr geht es um das Be reitstellen der grundlegenden Begriffe und Methoden, die dann - darauf aufbauen- das Studium der größeren Werke zur klassischen und modernen Differentialgeometrie erst ermöglichen. Besonders in den Anfangs-Kapiteln wird großer Wert auf Anschau lichkeit gelegt, was durch zahlreiche Abbildungen dokumentiert wird. Die nach Ansicht des Autors besonders wichtigen Dinge sind in Kästchen eingerahmt, um sie besonders hervorzuheben. Diese stellen sozusagen ein Gerüst des Inhalts dar. Dieses Buch wäre nicht möglich gewesen ohne die Unterstützung meiner Studenten und Mitarbeiter, die zahlreiche Fehler aus den ersten Versionen eliminiert haben. Ich nen ne hier besonders Gunnar Ketelhut, Eric Sparla, Michael Steller und Gabriele Preissler, die sehrintensiv Korrektur gelesen haben. Von G.

1 Bezeichnungen sowie Hilfsmittel aus der Analysis.- 2 Kurven im ?n.- 2A Frenet Kurven im ?n.- 2B Ebene Kurven und Raumkurven.- 2C Bedingungen an Krümmung und Torsion.- 2D Die Frenet-Gleichungen und der Hauptsatz der lokalen Kurventheorie.- 2E Kurven im Minkowski Raum ?13.- 2F Globale Kurventheorie.- 3 Lokale Flächentheorie.- 3A Flächenstücke, erste Fundamentalform.- 3B Die Gauß Abbildung und Krümmungen von Flächen.- 3C Drehflächen und Regelflächen.- 3D Minimalflächen.- 3E Flächen im Minkowski-Raum ?13.- 3F Hyperflächen im ?n+1.- 4 Die innere Geometrie von Flächen.- 4A Die kovariante Ableitung.- 4B Parallelverschiebung und Geodätische.- 4C Die Gauß Gleichung und das Theorema Egregium.- 4D Der Hauptsatz der lokalen Flächentheorie.- 4E Die Gauß Krümmung in speziellen Parametern.- 4F Der Satz von Gauß Bonnet.- 4G Ausgewählte Kapitel der globalen Flächentheorie.- 5 Riemannsche Mannigfaltigkeiten.- 5A Der Mannigfaltigkeitsbegriff.- 5B Der Tangentialraum.- 5C Riemannsche Metriken.- 5D Der Riemannsche Zusammenhang.- 6 Der Krümmungstensor.- 6A Tensoren.- 6B Die Schnittkrümmung.- 6C Der Ricci Tensor und der Einstein Tensor.- 7 Räume konstanter Krümmung.- 7A Der hyperbolische Raum.- 7B Geodätische und Jacobi Felder.- 7C Das Raumformen Problem.- 7D 3-dimensionale euklidische und sphärische Raumformen.- 8 Einstein Räume.- 8A Die Variation des Hilbert Einstein Funktionals.- 8B Die Einsteinschen Feldgleichungen.- 8C Homogene Einstein Räume.- 8D Die Zerlegung des Krümmungstensors.- 8E Die Konformkrümmung.- 8F Dualität für 4-Mannigfaltigkeiten, Petrov Typen.- Literatur.