Ziel dieses Buches ist eine angewandte Einführung in die Grundthemen der linearen Algebra sowie der mehrdimensionalen Differentialrechnung für Studierende der Natur- und Ingenieurwissenschaften. Schwerpunkte bilden die Matrizenrechnung (lineare Gleichungssysteme, Eigenwertprobleme), Vektorräume und lineare Abbildungen sowie die Methode der kleinsten Quadrate (mit Anwendung auf diskrete Fourier-Theorie). Außerdem zeigt der Text, wie die Sprache und Konzepte der linearen Algebra in der mehrdimensionalen Analysis (beispielsweise im Zusammenhang mit Optimierungsfragen) nützlich sind. Schließlich gehört auch der Einblick in den Einsatz numerischer Verfahren für komplexere Berechnungen zum Inhalt des Buches. Sowohl bei der Entwicklung der mathematischen Konzepte als auch in den zahlreichen Übungen wird auf eine anwendungsbezogene und verständnisorientierte Heranführung an die Themen geachtet.
Inhaltsverzeichnis
Vorwort ix
I Lineare Algebra 1
1 Lineare Gleichungssysteme 3
1. 1 Gaußsches Eliminationsverfahren 3
1. 2 Anwendungen 16
1. 3 Lösungsmengen linearer Gleichungssysteme 21
1. 4 Numerische Berechnungen mitOCTAVE 36
1. 5 Übungsaufgaben 38
2 Reelle Vektorräume 43
2. 1 Die Menge Rn 43
2. 2 Lineare Unterräume von Rn 54
2. 3 Lineare Unabhängigkeit 64
2. 4 Basen und Dimension 69
2. 5 Übungsaufgaben 80
3 Lineare Abbildungen 85
3. 1 Funktionen von Vektoren 85
3. 2 Begriff der linearen Abbildung 88
3. 3 Lineare Abbildungen und Matrizen 92
3. 4 Kern und Bild einer linearen Abbildung 102
3. 5 Komposition von linearen Abbildungen 107
3. 6 Invertierung von linearen Abbildungen 114
3. 7 Übungsaufgaben 116
4 Orthogonale Projektionen 119
4. 1 Euklidische Norm und Skalarprodukt in Rn 119
4. 2 Orthogonalprojektionen und kleinste Quadrate 126
4. 3 Anwendung: Diskrete Fourier-Datenanalysis 140
4. 4 Übungsaufgaben 147
5 Eigenwertprobleme 155
5. 1 Iterative Prozesse 155
5. 2 Eigenwerte und Eigenvektoren 165
5. 3 Nicht-negative Matrizen 174
5. 4 Anwendungen 182
5. 5 Übungsaufgaben 192
II Mehrdimensionale Differentialrechnung 197
6 Differentialrechnung in Rn 199
6. 1 Skalare Funktionen über Rn 199
6. 2 Differenzieren in mehreren Veränderlichen 204
6. 3 Optimierung 222
6. 4 Übungsaufgaben 233
7 Vektorfelder 239
7. 1 Grafische Darstellung 239
7. 2 Linearisierung 242
7. 3 Stationäre Punkte 247
7. 4 Übungsaufgaben 250
A Kurzeinführung in OCTAVE 253
B Lösungen zu den Übungsaufgaben 265
Index 339
