Elementare Zahlentheorie

Die folgende Einflihrung in die Zahlentheorie entstand aus Vorlesungen, die· ich an der Universitiit des Saarlandes gehalten habe; sie urnfa~t ziernlich genau den Stoff, der im Verlauf eines Wintersemesters im Rahmen der Vorlesung tiber "Elementare Zahlentheorie" behandelt wurde. Diese Vorlesung hat zwei Ziele: Einerseits sollen moglichst viele Studenten angesprochen werden, denen die Vorlesung "mathematische Allgemeinbil dung" auf dem Gebiet der Zahlentheorie vermitteln soli; die fiir die Vor- Ie sung notwendigen Voraussetzungen z. B. auf dem Gebiet der Algebra sollen also moglichst gering sein. Tatsiichlich sollte die Kenntnis der algebraischen Grundstrukturen und ihrer elementarsten Eigenschaften geniigen; wenn an einigen Stellen etwas weitergehende Vberlegungen erforderlich sind, wird ver sucht, diese an Ort und Stelle bereitzustellen. Der Abschnitt tiber abelsche Gruppen kann als Beispiel dazu dienen. Natiirlich mu~ man fiir diese Vor gehen auch bezahlen, oft ersetzt das Rechnen zu Fu~ den eigentlich viel ein leuchtenderen strukturellen Beweis, die lastigen Nachrechnungen bei Ver kntipfungen von Restklassen sind ein deutliches Beispiel damr. Andererseits soli die Vorlesung interessierte Studenten auf die Algebraische Zahlentheorie vorbereiten; das Erreichen dieses Ziels sollte durch die Stoff auswahl untersttitzt werden.

I Teilbarkeitslehre. - §1 Die rationalen Zahlen. - §2 Teiler. - §3 Zerlegung in Primfaktoren. - §4 Ideale in Z. - II Kongruenzen. - §1 Der Restklassenring Z/m. - §2 Digression über abelsche Gruppen. - §3 Struktur von Z/m. - III Komplettierungen von Q. - §1 Reelle Zahlen. - §2 Darstellung von Zahlen durch g-adische Ziffernentwicklung. - §3 Kettenbrüche. - §4 p-adische Zahlen. - §5 Approximation in Qp. - §6 Lokal-Global-Beziehungen. - IV Quadrate in Qp. - §1 Quadratisches Restsymbol. - §2 Das quadratische Reziprozitätsgesetz. - §3 Quadratklassen in Qp. - §4 Das Hilbert-Symbol. - §5 Summen von Quadraten in Qp. - §6 Die Produktformel für die Hilbert-Symbole. - V Quadratische Formen über Q und Qp. - §1 Allgemeine Theorie quadratischer Formen. - §2 Isotropie von quadratischen Formen über Qp. - §3 Lokal-Global-Prinzip für quadratische Formen. - VI Quadratische Zahlkörper. - §1 Definitionen. - §2 Einheiten in 0. - §3 Teilertheorie in 0. - Anhang Der Primzahlsatz von Dirichlet. - §1 L-Reihen und der Primzahlsatz. - §2 Beweis von Lemma 3 und Lemma 4. - Namen- und Sachverzeichnis.