Spezielle Funktionen

In diesem Band werden einige spezielle Funktionen dargestellt, denen man bei der Integration von Differentialgleichungen der mathematischen Physik und in den Ingenieurwissenschaften begegnet. Dabei wird dem allgemeinen Anliegen dieser Lehr buchreihe weitgehend Rechnung getragen, daß die Studierenden ihre mathematischen Kenntnisse und Fertigkeiten im Zusammenhang mit deren Anwendungen erwerben sollen. Die Theorie wird nur soweit behandelt, wie sie zum Verständnis der physika lischen und technischen Probleme erforderlich ist. Reihenentwicklungen und Integraldarstellungen der zu beschreibenden Funk tionen, die als Lösungen von Differentialgleichungen auftreten, stehen ebenfalls im Vordergrund der Betrachtungen. Von den Eigenschaften konnten nur die wichtigsten, für praktische Erfordernisse notwendige angegeben werden. Die mathematischen Untersuchungen werden insbesondere in den Kapiteln 2 bis 5 vorwiegend im Kom plexen durchgeführt. Jedoch wird mit Rücksicht auf die physikalisch-technischen Anwendungen immer auf die Darstellung im Reellen bezug genommen. Die Auswahl der Funktionen wurde ebenfalls von den Anwendungsmöglichkeiten bestimmt. Das erklärt insbesondere die breitere Darstellung der Besselschen und der Kugelfunk tionen. Bedingt durch diesen Grundsatz konnte daher nicht in allen Kapiteln ein einheitliches mathematisches Vorgehen eingehalten werden. Vielmehr werden die jenigen Methoden bevorzugt, die den Besonderheiten der jeweiligen Funktionen angepaßt sind. Das hat andererseits den Vorteil, daß die wesentlichen Kapitel 3 und 4 unabhängig voneinander lesbar sind. Im ersten Kapitel werden einige wichtige Begriffe zu orthogonalen Funktionen systemen bereitgestellt, die zum Verständnis der Reihenentwicklung beitragen. Dabei werden dieLaguerreschen, Hermiteschen und Tschebyschewschen Polynome als Beispiele ausfÜhrlicher besprochen.

1. Orthogonale Funktionensysteme. - 1. 1. Grundbegriffe. - 1. 2. Spezielle Orthogonalsysteme. - 2. Gammafunktion. - 2. 1. Definition und Darstellungen. - 2. 2. Eigenschaften der Gammafunktion. - 2. 3. Betafunktion. - 2. 4. Anwendungen der Gamma- und Betafunktion in der Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik. - 3. Zylinderfunktionen. - 3. 1. Allgemeine Bemerkungen und Einführung der Zylinderfunktionen 1. Art. - 3. 2. Zylinderfunktionen 1. Art, Besselsche Funktionen. - 3. 3. Die allgemeine Lösung der Besselschen Differentialgleichung. - 3. 4. Einige Anwendungen. - 4. Kugelfunktionen. - 4. 1. Allgemeine Bemerkungen. - 4. 2. Zonale Kugelfunktionen. - 4. 3. Zugeordnete Kugelfunktionen. - 4. 4. Legendresche Funktionen 2. Art. - 4. 5. Kugelflächenfunktionen. - 4. 6. Anwendungen der Kugelfunktionen. - 5. Hypergeometrische Funktionen. - 5. 1. Definition. - 5. 2. Einige Eigenschaften. - 5. 3. Integraldarstellungen und asymptotische Formeln. - 5. 4. Darstellung der Kugelfunktionen als hypergeometrische Reihen. - Anhang: Zusammenstellung wichtiger Formeln. - Lösungen der Aufgaben. - Literatur.