Integralgleichungen

Dieser Band der Reihe "Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler" führt in die Grundlagen der Thematik Integralgleichungen ein. Dabei handelt es sich um einen Problemkreis, der vom theoretischen Standpunkt aus wichtig ist und auch viele Anwendungen findet. Beim Leser werden Grundkenntnisse aus den Anfangssemestern vorausgesetzt. Bis auf wenige Ausnahmen wird die in diesem Buch dargelegte Theorie für stetige Funktionen auf kompakten Inter­ vallen entwickelt. Man kann also problemlos mit dem Riemannschen Integral­ begriff auskommen. Das Buch besteht aus fünf Teilen; jeder der 15 numerierten Abschnitte ist unter­ gliedert: 7. 3 bezeichnet den dritten Unterabschnitt von Abschnitt 7, und (7. 3) steht für die dritte Formel in diesem Abschnitt. In der Einführung wird dem Leser eine erste Begegnung mit Integralgleichun­ gen ermöglicht. Außerdem werden einige Aufgabenstellungen aus der Praxis vorgestellt, deren mathematische Formulierung auf Integralgleichungen führt. Der zweite Teil befaßt sich mit der Lösung einiger spezieller Typen von Integral­ gleichungen. Die Laplace-Transformation wird hier als Werkzeug zur Lösung Volterrascher Gleichungen mit Faltungskern benutzt. Im Fall Fredholmscher Integralgleichungen mit ausgeartetem Kern wird der enge Zusammenhang der Theorie der Integralgleichungen mit der linearen Algebra aufgezeigt. Zum Ab­ schluß wird dann die Fredholmsche Alternative formuliert. Im folgenden Teil steht die Lösbarkeit von Integralgleichungen im Mittelpunkt.

Einführung.- 1 Einige Aufgaben, die auf Integralgleichungen führen.- 2 Klassifikation von Integralgleichungen.- 3 Der Integraloperator. Eigenfunktionen und charakteristische Werte.- 4 Die Methode der schrittweisen Näherungen.- Spezielle Integralgleichungen. Allgemeine Aussagen zur Lösbarkeit.- 5 Gleichungen mit Faltungskern.- 6 Integralgleichungen mit ausgeartetem Kern.- 7 Die Fredholmsche Alternative.- Lösbarkeit von Integralgleichungen.- 8 Operatoren in normierten Vektorräumen.- 9 Selbstadjungierte Integraloperatoren.- 10 Bilineare Zerlegung eines symmetrischen Kerns.- 11 Lösbarkeit von Gleichungen mit symmetrischem Kern.- 12 Integralgleichungen erster Art.- Der Zusammenhang zwischen Integral- und Differentialgleichungen.- 13 Das Sturm-Liouvillesche Problem.- Einige Approximationsmethoden.- 14 Die Methode der Quadraturformeln.- 15 Die Momentenmethode, die Methode der kleinsten Quadrate und die Kollokationsmethode.- Lösungen und Lösungshinweise.- Literatur.