Viele angehende Studenten haben gehörigen Respekt vor der Mathematik, wenn sie ein Ingenieursstudium beginnen, und das zu Recht. Aber Hilfe naht: Thoralf Räsch bringt Sie, egal wo Sie auf der Schule waren und wo Sie studieren werden, auf den Stand, dass Sie der Mathematikvorlesung im ersten Semester folgen können. Er erklärt Ihnen noch einmal die Grundrechenarten, zeigt, wie man mit Brüchen, Potenzen und Logarithmen rechnet und erläutert komplexe Zahlen, Gleichungen, Vektoren und Matrizen. Er hilft Ihnen, Folgen, Reihen und Funktionen zu verstehen und unterstützt Sie bei Ihren ersten Schritten in der Geometrie, der Differential- und Integralrechnung. So ist dies das perfekte Auffrischungsbuch vor Ihrem Studium.
Inhaltsverzeichnis
Ü ber den Autor 9
Danksagung 9
Einleitung 23
Ein leicht verstä ndlicher Einstieg in die hö here Mathematik anhand vieler Beispiele 23
Ü berall praktische Beispiele 23
Tö richte Annahmen ü ber den Leser 24
Konventionen in diesem Buch 24
Wie dieses Buch strukturiert ist 25
Teil I: Zahlen und Rechenoperationen 25
Teil II: Keine Angst vor Gleichungen, Vektoren und Matrizen 25
Teil III: Funktionen, Folgen und Reihen 26
Teil IV: Keine Angst vor Geometrie 26
Teil V: Differentiation und Integralrechnung fü r eine Variable 26
Teil VI: Differentiation und Differentialgleichungen fü r zwei Variablen 26
Teil VII: Der Top-Ten-Teil 27
Die Symbole in diesem Buch 27
Den modularen Aufbau fü r sich nutzen 28
Teil I Zahlen Und Rechenoperationen 29
Kapitel 1 Zahlen und Grundrechenarten 31
Mathematik und ihre natü rlichen Zahlen 31
Eigenschaften der Grundrechenarten 33
Von den natü rlichen zu den ganzen Zahlen 34
Aufgaben mit Klammern richtig lö sen 37
Aus ganz wird rational - Bruchrechnung mal anders 38
Rationale Zahlen und ihre Dezimalbrü che 41
Und plö tzlich wird's irrational . . . und real! 43
Keine Angst vor dem Rechnen mit Variablen 45
Das Summenzeichen 46
Kapitel 2 Rechnen mit Polynomen, Potenzen und Logarithmen 47
Alles ü ber Mengen 47
Mengen im Supermarkt? 47
Alles, nichts, oder? - Spezielle Mengen 49
Von Zahlen, Mengen und Intervallen 50
Mit Mengen einfach rechnen kö nnen 51
Das Leben mit Teilmengen 51
Mengengleichheit 51
Durchschnitt und Vereinigung von Mengen 52
Mengendifferenz und Komplementbildung 52
Potenzmenge einer Menge 53
Kreuzprodukt von Mengen 54
Venn-Diagramme 55
Prozentrechnung fü r den Alltag 57
Nur zwei Prozent Mieterhö hung 57
Das eigene Heim trotz Provision? 57
Die Bä ren kommen - Sinkende Aktienkurse 58
Bullen im Vormarsch - Steigende Kurse 58
Wie viele Bullen hä tten die Bä ren gezä hmt? 58
Immer auf die genaue Formulierung achten 59
Preissenkungsschnä ppchen mitnehmen 59
Zinsrechnung zum Verstehen 59
Lohnender Zinsertrag 60
Hö he des Zinssatzes fü r Ihre Trä ume 60
Suche nach dem Startkapital 60
Taggenaue Zinsen 61
Kapitalwachstum: Zinseszins 61
Eine feste Anlage fü r zehn Jahre 61
Das sich verdoppelnde Kapital bei festem Zins 62
Das sich verdoppelnde Kapital bei fester Jahresanzahl 62
Keine Angst vor Wurzeln und Potenzen 63
Kapitel 3 Logische Grundlagen und Beweismethoden 65
Logische Grundlagen 65
Wahre und falsche Aussagen 65
Aussagen verknü pfen 66
Die Mathematik als Sprache erkennen 68
Terme als die Worte im mathematischen Satz 68
Formeln sind die Sä tze der mathematischen Sprache 68
Mit Quantoren neue Formeln bilden 69
Notwendige und hinreichende Bedingungen 71
Die Unendlichkeit - unzä hlige Welten? 73
Mit abzä hlbaren Mengen zä hlen lernen 73
Jenseits der Zä hlbarkeit - ü berabzä hlbare Mengen 76
Grundlegende Beweistechniken in der Mathematik 77
Methode 1: Direkter Beweis 77
Methode 2: Indirekter Beweis 78
Methode 3: Beweis durch Fallunterscheidung 79
Methode 4: Beweis durch vollstä ndige Induktion 80
Kapitel 4 Grundlagen von Gleichungen und Ungleichungen 85
Gleichungen in Angriff nehmen 85
Lineare Gleichungen mit einer Unbekannten 85
Lineare Gleichungen mit zwei Unbekannten 87
Quadratische Gleichungen mit einer Unbekannten 88
Ungleichungen in den Griff bekommen 90
Lineare Ungleichungen im Griff haben 90
Quadratische Ungleichungen zä hmen 90
Echte Ungleichungen akzeptieren 91
Beträ ge ins Spiel bringen 91
Teil II Keine Angst Vor Gleichungen, Vektoren Und Matrizen 95
Kapitel 5 Nicht reell aber real - die komplexen Zahlen 97
Was komplexe Zahlen wirklich sind 97
Komplexe Rechenoperationen 99
Die komplexe Addition 99
Die komplexe Multiplikation 99
Die Konjugierte einer komplexen Zahl 100
Die komplexe Division 100
Zusammenhä nge zwischen den komplexen Operationen 101
Komplexe quadratische Gleichungen 102
Darstellung komplexer Zahlen als Paare reeller Zahlen 103
Darstellung komplexer Zahlen durch Polarkoordinaten 104
Der Betrag einer komplexen Zahl 104
Einmal Polarkoordinaten und zurü ck 105
Umwandlung in Polarkoordinaten aus Koordinaten 106
Umwandlung in Koordinaten aus Polarkoordinaten 106
Komplexe Potenzen und Wurzeln 107
Anwendungen komplexer Zahlen 109
Kapitel 6 Die Grundlagen: Allgemeine Vektorrä ume und lineare Gleichungssysteme 113
Vektoren erleben 113
Vektoren veranschaulichen 115
Mit Vektoren anschaulich rechnen 116
Mit Vektoren rechnen 117
Betrag eines Vektors berechnen 120
Das Skalarprodukt von Vektoren berechnen 121
Schö ne VektorraumTeilmengen: Untervektorrä ume bestimmen 124
Vektoren und ihre Koordinaten bestimmen 126
Arten von Linearen Gleichungssystemen 129
Homogene Gleichungssysteme 130
Inhomogene Gleichungssysteme 130
Ü berbestimmte Gleichungssysteme 131
Unterbestimmte Gleichungssysteme 132
Quadratische Gleichungssysteme 132
Nicht lö sbare Gleichungssysteme 133
Graphische Lö sungsansä tze fü r LGS 134
Kapitel 7 Vektoren im dreidimensionalen Raum: Punkte, Geraden und Ebenen 135
Punkte, Geraden und Ebenen im dreidimensionalen Raum 135
Punkte im Raum 136
Parametergleichung fü r Geraden 136
Zweipunktegleichung fü r Geraden 138
Parametergleichung fü r Ebenen 139
Dreipunktegteichung fü r Ebenen 140
Koordinatengteichung fü r Ebenen 141
Umrechnungen der einzelnen Ebenengleichungen 141
Lagebeziehungen zwischen Geraden und Ebenen 143
Kollision Wä hrend einer Flugshow in Las Vegas? 150
Kapitel 8 Ü berleben in der Welt der Matrizen 155
Was Matrizen eigentlich sind 156
Addition von Matrizen 157
Skalarmultiplikation von Matrizen 157
Multiplikation von Matrizen 157
Matrizen in Produktionsprozessen 158
Transponierte und symmetrische Matrizen 160
Keine Angst vor inversen Matrizen 160
Matrizen und lineare Gleichungssysteme 161
Das Lö sungsverfahren: Der Gauß sche Algorithmus 162
Der Rang von Matrizen 167
Matrizen invertieren in der Praxis 168
Kriterien fü r die Lö sbarkeit von homogenen Gleichungssystemen 169
Kriterien fü r die Lö sbarkeit von inhomogenen Gleichungssystemen 170
Matrizen und lineare Abbildungen 171
Lineare Abbildungen an Beispielen 171
Matrizen als lineare Abbildungen 172
Bilder und Kerne, Rä nge und Defekte - in der Theorie 172
Bilder und Kerne, Rä nge und Defekte - in der Praxis 173
Lineare Abbildungen durch Matrizen darstellen 176
Matrizen und ihre Determinanten 177
Determinanten von (2 × 2) -Matrizen 177
Determinanten von (3 × 3) -Matrizen 177
Determinanten von allgemeinen Matrizen 178
Determinanten, Matrizen & lineare Gleichungssysteme 181
Die Cramersche Regel 181
Die Inversen mittels der Adjunktenformel berechnen 184
Flä chen und Volumina mittels Determinanten berechnen 185
Kreuzprodukt von Vektoren 186
Praktische Anwendung: Spiegelungen und Drehungen in der Ebene 188
Drehungen in der Ebene 188
Berechnung des Drehwinkels in der Ebene 190
Spiegelungen in der Ebene 190
Berechnung der Spiegelachse in der Ebene 192
Teil III Funktionen, Folgen Und Reihen 195
Kapitel 9 Was Funktionen sind! 197
Was Funktionen eigentlich sind 197
Graphische Darstellung von Funktionen 199
Polynome einfach verstehen 200
Bruchrechnung: Rationale Funktionen 204
Keine Angst vor der Potgnomdivision 205
Rasch Wachsende Exponentialfunktionen 206
Umgekehrt betrachtet: Logarithmusfunktionen 208
Von Umkehr- und inversen Funktionen 209
Trigonometrische Funktionen 210
Trigonometrische Funktionen zeichnen 211
Identifikation (von und) mit trigonometrischen Identitä ten 212
Trigonometrische Kehrwert- und Umkehrfunktionen 212
Kapitel 10 Stetigkeit und Grenzwerte von Funktionen 217
Grenzwerte einer Funktion verstehen 217
Drei Funktionen erklä ren den Grenzwertbegriff 218
Links- und rechtsseitige Grenzwerte 218
Die formale Definition eines Grenzwertes - wie erwartet! 219
Unendliche Grenzwerte und vertikale Asymptoten 220
Grenzwerte fü r x gegen unendlich 220
Stetigkeit von Funktionen 221
Einfache Grenzwerte auswerten 224
Einfachste Methode: Einsetzen und Auswerten 224
Echte Aufgabenstellungen mit Grenzwerten 225
Methode 1: Faktorisieren 225
Methode 2: Konjugierte Multiplikation 226
Methode 3: Einfache algebraische Umformungen 226
Methode 4: Das Grenzwert-Sandwich 227
Grenzwerte bei unendlich auswerten 229
Grenzwerte bei unendlich und horizontale Asymptoten 230
Algebraische Tricks fü r Grenzwerte bei unendlich verwenden 230
Kapitel 11 Von Folgen und Reihen 233
Folgen und Reihen: Worum es eigentlich geht 233
Folgen aneinanderreihen 234
Konvergenz und Divergenz von Folgen 235
Grenzwerte mithilfe der Regel von l'Hospital bestimmen 236
Reihen summieren 237
Partialsummen 237
Konvergenz oder Divergenz einer Reihe 238
Konvergenz oder Divergenz? Das ist hier die Frage! 240
Das einfachste Kriterium auf Divergenz: Eine notwendige Bedingung 240
Drei grundlegende Reihen und die zugehö rigen Prü fungen auf Konvergenz beziehungsweise Divergenz 240
Geometrische Reihen 241
Harmonische Reihe 241
Teleskop-Reihen 242
Drei Vergleichskriterien fü r Konvergenz beziehungsweise Divergenz 243
Der direkte Vergleich - Minoranten-/ Majorantenkriterium 243
Das Grenzwertkriterium 244
Quotienten- und Wurzelkriterium 246
Das Quotientenkriterium 246
Das Wurzel-Kriterium 247
Alternierende Reihen 248
Absolute oder normale Konvergenz - das ist die Frage! 249
Leibniz und das Kriterium fü r alternierende Reihen 250
Ableitungen und Integrale fü r Grenzprozesse nutzen 253
Eine erste spezielle Reihenart, die Potenzreihen 255
Potenzreihen (er)kennen 255
Konvergenzbereich von Potenzreihen 257
Rechnen Sie mit Potenzreihen 258
Eine zweite spezielle Reihenart, die Taylorreihen 259
Teil IV Keine Angst Vor Geometrie 261
Kapitel 12 Von Winkeln, Geraden und Dreiecken: Grundlagen der Geometrie 263
Geraden, Strahlen und Winkel 263
Winkel an geschnittenen Geraden 266
Strecken in der Ebene 267
Mit den Strahlensä tzen rechnen 267
Goldener Schnitt 269
Das allgemeine Dreieck 271
Das gleichschenklige Dreieck 273
Das gleichseitige Dreieck 273
Das rechtwinklige Dreieck 274
Interessante Schnittpunkte in Dreiecken 275
Dreiecke und ihre Seitenhalbierenden samt Schwerpunkte 275
Dreiecke und ihre Mittelsenkrechten samt Umkreisen 276
Dreiecke und ihre Winkelhalbierenden samt Inkreisen 276
Dreiecke und ihre Hö henschnittpunkte 277
Kongruenz von Dreiecken 278
Ä hnlichkeit von Dreiecken 279
Kapitel 13 Elementare Figuren der Geometrie in Ebene und Raum 283
Die zweidimensionale Welt: Von Vierecken ü ber n-Ecke zu Kreisen 283
Vierecke (er)kennen lernen 283
Allgemeine und regelmä ß ige n-Ecke 289
Keine Angst vor Kreisen 291
Geometrische Kö rper - die dreidimensionale Welt 295
Die Welt der Prismen 296
Es mit Pyramiden auf die Spitze treiben 298
Zylinder aus Prismen entwickeln 301
Aus Pyramiden werden Kegel 302
Die Kugel - schlicht und makellos 303
Ein komplexeres Beispiel aus der Praxis: Optimale Blechbehä lter gesucht! 305
Platonische Kö rper genieß en 307
Teil V Differential- Und Integralrechnung Fü r Eine Variable 309
Kapitel 14 Differentiation von Funktionen einer Verä nderlichen 311
Erste Schritte des Ableitens 311
Steigungen gesucht! 311
Steigung von Geraden 313
Steigungen von Parabeln 314
Der Differenzenquotient 315
Sein oder nicht sein? Drei Fä lle, in denen die Ableitung nicht existiert 319
Grundlegende Regeln der Differentiation 321
Die Konstantenregel 321
Die Potenzregel 321
Die Summenregel - und die kennen Sie schon 322
Trigonometrische Funktionen differenzieren 322
Exponentielle und logarithmische Funktionen differenzieren 322
Fortgeschrittene Regeln der Differentiation 324
Die Produktregel 324
Die Quotientenregel 324
Die Kettenregel 325
Implizite Differentiation 328
Logarithmische Differentiation 329
Differentiation von Umkehrfunktionen 330
Keine Angst vor hö heren Ableitungen 331
Kapitel 15 Kurvendiskussion: Extrem-, Wende- und Sattelpunkte 333
Kurvendiskussion einmal praktisch veranschaulicht 333
Berg und Tal: Positive und negative Steigungen 334
Bauchgefü hle: Konvexitä t und Wendepunkte 335
Am Tiefpunkt angelangt: Ein lokales Minimum 335
Atemberaubender Blick: Das globale Maximum 335
Achtung - Nicht auf der Spitze stecken bleiben 336
Halten Sie sich fest - nun geht's bergab! 336
Jetzt wird's kritisch an den Punkten! 336
Lokale Extremwerte finden 337
Die kritischen Werte suchen 337
Der Test mit der ersten Ableitung - wachsend oder fallend? 339
Der Test mit der zweiten Ableitung - Krü mmungsverhalten! 340
Globale Extremwerte ü ber einem abgeschlossenem Intervall finden 341
Globale Extrempunkte ü ber den gesamten Definitionsbereich finden 343
Konvexitä t und Wendepunkte praktisch bestimmen 345
Die Graphen von Ableitungen - jetzt wird gezeichnet! 347
Der Zwischenwertsatz - Es geht nichts verloren 350
Der Mittelwertsatz - Es bleibt Ihnen nicht(s) erspart! 351
Das nü tzliche Taylorpolynom 353
Die Regel von l'Hospital 356
Nicht akzeptable Formen in Form bringen 357
Kombinieren der Methoden - nur Geduld! 358
Kapitel 16 Eindimensionale Integration 361
Flä chenberechnung - eine Einfü hrung 361
Flä chen mithilfe von Rechtecksummen annä hern 362
Exakte Flä chen mithilfe des bestimmten Integrals ermitteln 366
Stammfunktionen suchen - rü ckwä rts Ableiten 368
Das Vokabular: Welchen Unterschied macht es? 370
Flä chenfunktion beschreiben 370
Achtung Tusch: Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung 373
Die erste Version des Hauptsatzes 373
Der andere Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung 375
Warum der Hauptsatz funktioniert: Flä chenfunktionen 377
Kapitel 17 Integrale praktisch lö sen - Tipps und Tricks 381
Stammfunktionen finden - Drei grundlegende Techniken 381
Umkehrregeln fü r Stamm funktionen 381
Genial einfach: Raten und Prü fen 382
Die Substitutionsmethode 384
Flä chen mithilfe von Substitutionsaufgaben bestimmen 386
Partielle Integration: Teile und Herrsche! 387
Wä hlen Sie weise! 389
Partielle Integration: Immer wieder dasselbe! 390
Im Kreis gelaufen und doch am Ziel 391
Kapitel 18 Spezielle Integrale praktisch lö sen - Tipps und Tricks 393
Integrale mit Sinus und Kosinus 393
Fall 1: Die Potenz vom Sinus ist ungerade und positiv 393
Fall 2: Die Potenz vom Kosinus ist ungerade und positiv 394
Fall 3: Die Potenzen von Sinus und Kosinus sind gerade aber nicht negativ 395
Integrieren mit dem A-B-C der Partialbrü che 395
Fall 1: Der Nenner enthä lt nur lineare Faktoren 396
Fall 2: Der Nenner enthä lt nicht zu kü rzende quadratische Faktoren 397
Fall 3: Der Nenner enthä lt lineare oder quadratische Faktoren in hö herer Potenz 399
Bonusrunde - Der Koeffizientenvergleich 399
Integrale rationaler Funktionen von Sinus und Kosinus 400
Grau ist alle Theorie - Praktische Integrale! 401
Die Flä che zwischen zwei Funktionen berechnen 402
Bogenlä ngen bestimmen 404
Oberflä chen von einfachen Rotationskö rpern bestimmen 406
Teil VI Differential- Und Integralrechnung Fü r Zwei Variablen 409
Kapitel 19 Kurvendiskussion von Funktionen zweier Variablen 411
Funktionen mehrerer Variabler graphisch darstellen 412
Mit Schnitten und Niveau zum Erfolg 414
Schnitte von Graphen 414
Hö hen- und Niveaulinien von Graphen 415
Stetigkeit von Funktionen mehrerer Variabler 416
Partielle Ableitungen - auch hier ein Kinderspiel 419
Unabhä ngiges Pä rchen: Partielle Ableitungen und Stetigkeit 421
Tangentialebenen als Tangenten-Alternative 421
Volles Programm: Totale Differenzierbarkeit 422
Gewü nschte Zugabe: Totales Differential 423
Rechenregeln des Ableitens fü r Funktionen mehrerer Variablen 424
Implizite Funktionen differenzieren kö nnen 425
Hö here Ableitungen: Hilfe durch den Satz von Schwarz 426
Kurvendiskussion fü r Funktionen mehrerer Variabler 429
Kritische Punkte von Funktionen in hö heren Dimensionen 429
Hinreichende Kriterien fü r Extrema und Sattelpunkte 430
Hinreichende Kriterien fü r Funktionen in zwei Variablen 432
Extremwerte unter Nebenbedingungen 434
Nebenbedingung mithilfe des Lagrangeschen Ansatzes lö sen 434
Nebenbedingung mithilfe des Einsetzverfahrens lö sen 437
Kopf an Kopf Rennen - beide Verfahren im direkten Vergleich 438
Kapitel 20 Grundlagen der Differentialgleichungen 445
Einfü hrende Gedanken zu Differentialgleichungen 445
Mit Isoktinen zur Lö sung 447
Die Frage nach der Existenz und Eindeutigkeit 448
Einfache Spezialfä lle von Differentialgleichungen 450
Der einfachste Fall: y =f (x) 450
Der Fall: y =f (x) g(y) - Trennung der Variablen 450
Lineare Differentialgleichungen erster Ordnung 451
Homogene lineare Differentialgleichungen erster Ordnung 452
Inhomogene lineare Differentialgleichungen erster Ordnung 453
Praktische Lö sungsmethode: Variation der Konstanten 454
Systeme gewö hnlicher linearer Differentialgleichungen erster Ordnung 455
Homogene Systeme mit konstanten Koeffizienten 456
Inhomogene Systeme mit konstanten Koeffizienten 460
Gewö hnliche lineare Differentialgleichungen zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten 461
Ä quivalenz einer Differentialgleichung n-ter Ordnung mit einem System erster Ordnung 462
Lineare Differentialgleichungen n-ter Ordnung lö sen 463
Homogene lineare Differentialgleichungen n-ter Ordnung 463
Homogene lineare Differentialgleichungen n-ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten 464
Spezielle Lö sung einer inhomogenen linearen Differentialgleichung n-ter Ordnung 465
Anwendungen in der Schwingungslehre 467
Teil VII Der Top-Ten-Teil 469
Kapitel 21 Zehn Ratschlä ge fü r einen erfolgreichen Abschluss Ihres Mathekurses 471
Der Kurs beginnt pü nktlich in der ersten Vorlesung 471
Besuchen Sie die Vorlesungen und Ü bungen 472
Verschaffen Sie sich ordentliche Mitschriften 472
Schauen Sie auch in die Bü cher 472
Lö sen Sie die wö chentlichen Ü bungsaufgaben 473
Gruppenarbeit nicht ausnutzen 473
Lernen Sie nicht nur fü r die Klausur 473
Klausurvorbereitung beginnt nicht einen Tag vorher 474
Aus Fehlern lernen 474
Der eigene Kurs ist immer der wichtigste! 474
Zu guter Letzt 475
Stichwortverzeichnis 477
