Auch wenn Mathematik nicht gerade Ihr Lieblingsfach ist, zu einem Ingenieursstudium gehört sie einfach mit dazu. Manchmal ist es hier auch nicht einfach mit den Grundlagen getan und Sie müssen sich etwas komplexeren Gebieten der Mathematik nähern. Aber keine Sorge: J. Michael Fried erklärt Ihnen in diesem Band, was Sie über mehrdimensionale Analysis, Vektoranalysis und Co. wissen sollten. Auch Differentialgleichungen, von einfachen über höhere bis zu Systemen linearer Differentialgleichungen, kommen hier nicht zu kurz. So ist dieses Buch der richtige Begleiter für Sie, wenn Sie in der Ingenieursmathematik voranschreiten wollen.
Inhaltsverzeichnis
Ü ber den Autor 7
Danksagung 7
Einleitung 19
Zu diesem Buch 19
Konventionen in diesem Buch 20
Tö richte Annahmen ü ber den Leser 20
Wie dieses Buch aufgebaut ist 21
Teil I: Mehrdimensionale Analysis fü r Ingenieure 21
Teil II: Integralrechnung und Vektoranalysis 21
Teil III: Gewö hnliche Differentialgleichungen 22
Teil IV: Funktionentheorie 22
Teil V: Der Top-Ten-Teil 23
Symbole in diesem Buch 23
Wie es weitergeht 24
Teil I: Mehrdimensionale Analysis fü r Ingenieure 25
Kapitel 1 Was bisher geschah 27
Grundlagen aus der linearen Algebra 27
Vektor- und Matrizenrechnung 28
Lineare Gleichungssysteme und das Gauß -Verfahren 31
Eigenwerte, Eigenvektoren und die Definitheit von Matrizen 36
Eindimensionale Analysis 37
Folgen, Hä ufungspunkte und Grenzwerte 38
Grenzwerte reellwertiger Funktionen und Stetigkeit 41
Differenzierbarkeit und Kurvendiskussion 43
Integration 47
Kapitel 2 Grundlagen der Differentialrechnung im 51
Unsere Welt ist mehrdimensional 51
Viele Variablen und ein Funktionswert 52
Einmal sehen ist besser als hundertmal hö ren: Graphische Darstellung 53
Viele Wege fü hren dahin: Stetigkeit 56
Abbildungen zwischen mehrdimensionalen Rä umen 58
Ableiten bis zum Abwinken: Totale Differenzierbarkeit 59
Nur einen Teil: Die partielle Ableitung 59
Totale Differenzierbarkeit 63
Was heiß t das denn? Charakterisierungen der Differenzierbarkeit 64
Praktische Berechnung der totalen Ableitung 68
Richtungsableitungen 71
Und weiter so! Ableitungen hö herer Ordnung 72
In eine Richtung: Partielle Ableitungen hö herer Ordnung 72
Vorsicht: Vertauschen partieller Ableitungen geht nicht immer! 74
Kapitel 3 Darf's noch etwas mehr sein? Mehr Differentialrechnung 77
Die Kettenregel, eine alte Bekannte 78
Eindimensionales in hö herdimensionalen Rä umen: Kurven 78
Achtung, Schleudergefahr: Ableitung entlang einer Kurve 79
Und nun ü berall: Die Kettenregel bei Koordinatentransformationen 81
Kettenregel kurz und knapp mit der Jacobi-Matrix 84
In voller Pracht: Die Formel fü r die allgemeine Kettenregel 85
Hö here Ableitungen, Differentialoperatoren und mathematische Schreibfaulheit 87
Zweite Ableitungen sammeln: Hesse-Matrix 87
Div, rot, grad und der Laplace-Operator 88
Der Mittelwertsatz 90
Der Mittelwertsatz im Mehrdimensionalen 90
Kapitel 4 Erste Anwendungen der mehrdimensionalen Differentialrechnung 93
Die Taylorsche Formel 94
Beispielhaft zweidimensionale Funktionen approximieren 94
Einige Spezialfä lle zur Taylorschen Formel 95
Das Newton-Verfahren 97
Das eindimensionale Newton-Verfahren 97
Das Newton-Verfahren im mehrdimensionalen Fall 104
Von hinten durch die Brust ins Auge: Implizite Funktionen 107
Implizite Funktionen im Eindimensionalen 108
Mehrdimensionale implizite Funktionen 111
Kapitel 5 Optimierung 115
Berggipfel und tiefste Schluchten: Extremstellen 115
Hö her als die Umgebung? Oder am allerhö chsten? 116
Weniger geht nicht: Unrestringierte Optimierung 116
Kritisch! Eine notwendige Bedingung fü r lokale Extrema 117
Stationä re Punkte und Tangentialebenen 118
Ganz sicher: Hinreichende Optimalitä tsbedingung 120
Informationen durch die Hesse-Matrix: Hö hen, Tiefen und Sattelpunkte 120
Und wie ist's denn nun? Ein einfacher Positivitä tstest 122
Restringierte Optimierung 124
Die Sache mit den Nebenbedingungen 124
Direkt zum Ziel: Die explizite Methode 125
Der indirekte Weg: Lagrange-Multiplikatoren 128
Problemvergrö ß erung erleichtert die Lö sung 130
Jetzt schreckt nichts mehr: Mehrere Nebenbedingungen 134
Teil II: Integralrechnung und Vektoranalysis 135
Kapitel 6 Integralrechnung in zwei oder drei Dimensionen 137
Bauklö tzchen oder: Die zweidimensionale Integration 138
Wir basteln uns ein Integral 139
Messbare Mengen und Flä cheninhalt 141
Flä cheninhalt durch Integration berechnen 143
Projizierbare Mengen 143
Zweimal eins ist zwei 146
Integralberechnung ganz praktisch: Beispiele 146
Die zweidimensionale Substitutionsregel 149
Rundes gerade biegen: Polarkoordinaten 151
Im Raum geht das auch: Dreidimensionale Integration 155
Dreidimensionale Projizierbarkeiten 156
Drei Integrationen zur dreidimensionalen Integration 157
Krumme Volumina und Integration im Raum 159
Substitutionsregel dreidimensional 161
Etwas Physik: Masse, Schwerpunkt und Trä gheitsmomente 166
Kapitel 7 Fä den durch den Raum: Kurvenintegrale 171
Punkte und Kurven im dreidimensionalen Raum 171
Wandern mathematisch: Wege und Kurven im 3 172
Differenzierbare Wege oder Geschwindigkeit! 173
Kurven mit und ohne Ecken! 174
Eine Fahrschule: Rechenregeln fü r differenzierbare Wege 175
Orientierungslos im Raum: Kurvenintegrale ü ber Skalarfelder 177
Kurvenintegrale ohne Orientierung 178
Dieselbe Kurve - Unabhä ngigkeit von der Parametrisierung 180
Drahtspiele: Bogenlä nge, Masse und Schwerpunkt 180
Orientierte Kurvenintegrale 184
Da entlang: Kurven mit Richtung 184
Einbahnstraß e: Der Tangenteneinheitsvektor 184
Der Weg ist das Ziel: Orientierung und Parametrisierung 186
Viele, viele Pfeile: Vektorfelder 187
Arbeit ist - ein orientiertes Kurvenintegral! 187
Da kö nnte doch etwas sein: Potentialfelder 190
Gibt es Stammfunktionen fü r Vektorfelder? 191
Stammtischfä hig: Konservative Vektorfelder 192
Integrieren kann so schö n sein: Der erste Hauptsatz fü r Kurvenintegrale 193
Kurvenintegrale ü ber Potentialfelder sind wegunabhä ngig! 194
Integrabilitä tsbedingungen oder: Der zweite Hauptsatz 196
Das Potential ausschö pfen: Berechnung einer Stammfunktion 198
Kapitel 8 Eine Dimension nach oben: Flä chenintegrale 203
Flä chen im dreidimensionalen Raum 203
Mathematische Darstellungen von Flä chen im Raum 203
Voll normal: Regulä re Bereiche 206
Nur nicht ausrutschen! Glatte Flä chen 208
Koordinatensysteme auf glatten Flä chen 210
Flä chen mit Knick: Stü ckweise glatt 211
Jede Menge parametrisierter Flä chen: Beispiele 212
Wie groß ist eine gebogene Flä che? 216
Viele kleine Plä ttchen: Auf dem Weg zum Flä cheninhalt 217
Eine Formel fü r den Flä cheninhalt 219
Jede Menge Inhalt: Formeln fü r bestimmte Flä cheninhalte 220
Flä chenintegrale mit und ohne Orientierung 222
Skalarfelder auf Flä chen: Orientierungslos 222
Mit Orientierung: Vektorfelder ü ber Flä chen integrieren 223
Alles fließ t: Eine physikalische Deutung 224
Kapitel 9 Die hohe Kunst der Vektoranalysis: Integralsä tze 227
Differentialoperatoren und Integralrechnung 228
Differentialoperatoren: Laplace-Operator, Divergenz und Rotation 228
Operatoroperationen mit dem Nabla-Operator 230
Es wirbelt herum: Rotation und Potentialfelder 231
Rechenregeln zu Rotation, Divergenz und Gradient 235
Noch mehr Rechenregeln 236
Harmonie unter Funktionen 238
Der Gauß sche Integralsatz 238
Oben und unten: Orientierung glatter Flä chen 239
Quellen, Senken und der Fluss durch die Oberflä che 241
Die Sä tze von Kelvin-Stokes und Green 244
Der Greensche Integralsatz 247
Teil III: Gewö hnliche Differentialgleichungen 249
Kapitel 10 Es ä ndert sich: Wie funktioniert's? Grundlegende Fragestellung bei Differentialgleichungen 251
Was sind Differentialgleichungen? 251
Gewö hnlich oder partiell: Definitionen 251
Vom Pendel zum Rä uber-Beute-Modell: Ü berall Differentialgleichungen 252
Ordnung muss sein: Die allgemeine Form einer gewö hnlichen Differentialgleichung 254
Gibt's das und, wenn ja, wie viele? Existenz und Eindeutigkeit 255
Langsam anfangen: Gewö hnliche Differentialgleichungen 1. Ordnung 256
Am Anfang der Anfangswert und dann? Anfangswertprobleme 257
Das gibt's! Der Satz von Picard-Lindelö f 258
Graphische Veranschaulichungen 262
Das Richtungsfeld 262
Nicht aus 'Star Trek': Die Isoklinen 263
Kapitel 11 Kochrezepte: Explizite Lö sungsmethoden fü r spezielle gewö hnliche Differentialgleichungen 265
Die exakte Differentialgleichung 266
Was eine Differentialgleichung exakt macht: Die Potentialfunktion! 266
Wieder einmal: Konservative Vektorfelder 267
Implizite Lö sungen einer exakten Differentialgleichung 268
Unpassendes passend machen: Integrierende Faktoren 271
Separable Differentialgleichungen 273
Oh, das ist ja exakt! 273
Ä hnlich die Ä hnlichkeits-Differentialgleichungen! 275
Lineare Differentialgleichungen 277
Kapitel 12 Lineare Differentialgleichungen hö herer Ordnung 283
Gewö hnliche Differentialgleichungen hö herer Ordnung 283
Alles in einem: Die allgemeine Form einer linearen Differentialgleichung 284
Funktionale Vektoren oder: Lineare Algebra im Funktionenraum 285
Lineare Unabhä ngigkeit von Funktionen 285
Ein grundlegender Ableitungsoperator 287
Jede lineare Differentialgleichung hat ihren eigenen Operator 288
Die homogene lineare Differentialgleichung n-ter Ordnung 289
Rü ckkehr der Kerne: Allgemeine Lö sung der homogenen Gleichung 289
Ganz grundlegend: Das Fundamentalsystem 290
Funktionen im Karree: Die Wronski-Matrix 292
Die inhomogene lineare Differentialgleichung n-ter Ordnung 293
Lö sung der inhomogenen Differentialgleichung 293
Spezielle Lö sung durch Variation der Konstanten 294
Das Reduktionsverfahren von d'Alembert 297
Kapitel 13 Spezielle lineare Differentialgleichungen 301
Lineare Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten 301
Lö sung der homogenen linearen Differentialgleichung 303
Das charakteristische Polynom 304
Lö sungen bei reellen Nullstellen 304
Lö sungen bei komplexen Nullstellen 305
Ein spezielles Fundamentalsystem 307
Schritt fü r Schritt zur Lö sung 308
Lö sung der inhomogenen linearen Differentialgleichung 310
Spezielle rechte Seiten 311
Die Eulersche Differentialgleichung 316
Ein Lö sungsverfahren zur Eulerschen Differentialgleichung 316
Kapitel 14 Systeme linearer Differentialgleichungen 323
Allgemeine lineare Differentialgleichungssysteme 323
Schreibweisen: Vektorwertige Funktionen oder ein Vektor von Funktionen 324
Was ist ein Differentialgleichungssystem? 324
Zwei Seiten der Medaille: Eine lineare Differentialgleichung als Differentialgleichungssystem 327
Gibt's denn das? Existenz und Eindeutigkeit bei Differentialgleichungssystemen 329
Das alte Spiel: Lö sungsmethode fü r lineare Differentialgleichungssysteme 330
Eins: Die Fundamentalmatrix des linearen Systems 330
Zwei: Die allgemeine Lö sung homogener linearer Systeme 332
Drei: Die allgemeine Lö sung des inhomogenen linearen Systems 333
Noch einmal: Die Variation der Konstanten 334
Spezieller: Lineare Differentialgleichungssysteme mit konstanten Koeffizienten 337
Kein bisschen kompliziert: Komplexwertige Lö sungen 337
Schon wieder die Exponentialfunktion: Lö sung des homogenen Systems 338
Eigenwerte liefern Lö sungen 339
Auf dem Weg zum Fundamentalsystem 340
Einfache Eigenwerte: Reell - geschenkt! 340
Lö sungspä rchen bei einfachen komplexen Eigenwerten 341
Hauptvektoren 346
Die Matrix-Exponentialfunktion 349
Lö sung des homogenen Differentialgleichungssystems mit konstanten Koeffizienten 352
Teil IV: Funktionentheorie 359
Kapitel 15 Ü berhaupt nicht hohl: Holomorphe Funktionen 361
Funktionentheorie oder komplexe Analysis 361
Fast wie im Reellen: Folgen komplexer Zahlen 361
Teuflische Tü cke im Detail: Die komplexe Ableitung 364
Na, so was! Schon wieder Differentialgleichungen: Cauchy-Riemann 365
Dem Kind einen Namen geben: Holomorphe Funktionen 366
Verwaltungsfreude: Regeln fü r die komplexe Ableitung 367
Kapitel 16 Komplexe Integration 371
Vorsichtig anfangen: eindimensionale Integration im Komplexen 371
Teilen, teilen! Integrale komplexwertiger reeller Funktionen 371
Krumme Linien: Das komplexe Kurvenintegral 372
Es geht! Praktische Berechnung komplexer Kurvenintegrale 373
Viel mehr zu komplexen Kurvenintegralen! 376
Richtungsweisend: Orientierte Integrale 377
Das berü hmte Beispiel von Cauchy 378
Der Integralsatz von Cauchy 379
Fast alles verschwindet! 379
Ein bisschen beweisen: Beweisskizze zum Integralsatz 379
Noch einmal: Das Cauchy-Beispiel und eine Folgerung 380
Bö se Stellen: Die Singularitä ten 381
Igitt, eine Singularitä t! 382
Da bleibt doch was . . . das Residuum 383
Das ist ja einfach! Berechnung des Residuums fü r Polstellen 1. Ordnung 383
Kurvenintegrale um Singularitä ten 384
Singularitä ten links liegen lassen: Der Residuensatz 384
Hilfe bei reellen Integralen: Komplexe Umwege vereinfachen die Integration 385
Kapitel 17 Potenz- und Laurentreihen 389
Mal wieder Potenzreihen - diesmal komplex! 389
Nach altem Rezept: Die Potenzreihen 389
Diesmal wirklich: Konvergenzkreise 390
Im Kreis: Potenzreihen sind holomorph! 391
Trost bei Singularitä ten: Laurentreihen 393
Laurentreihen, Residuen und Cauchys Integralformel 397
Einige besondere Eigenschaften holomorpher Funktionen 400
Funktionswerte und Kurvenintegrale holomorpher Funktionen 401
Identitä tssatz und Maximumsprinzip fü r holomorphe Funktionen 402
Der Fundamentalsatz der Algebra 403
Teil V: Der Top-Ten-Teil 405
Kapitel 18 Fast zehn Tipps und Tricks, um einen Mathekurs zu ü berstehen 407
Die Schwierigkeiten der hö heren Mathematik 407
Wozu das Ganze gut ist 408
Nicht lockerlassen! 408
Der Unterschied zwischen einer Mathematikvorlesung und einer Theatervorstellung 409
Immer noch: Glauben Sie nichts! 410
Ü ben Sie! Ü ben Sie! 410
Abbildungsverzeichnis 411
Stichwortverzeichnis 413
